P(X 0) 1810 24 P(X 2) 1215 24
30 25 100
30 25 100
P(X 1) 1 24 24 52 100 100 100
答法1：可以认为有变化。理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生。一旦发 生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了 变化。所以可以认为有变化。
解 (1)设该班男生人数为 x，则女生人数为 x＋4，由条件可得2x＋x 4＝151，
解得 x＝20，故该班男生有 20 人，女生有 24 人。
(2)由条件知在该班随机抽取一名学生，估计该同学持满意态度的概率为
161。
(3)由题意知 ξ 的可能取值为 0,1,2，ξ 服从超几何分布， 则 P(ξ＝0)＝CC06C21125＝121， P(ξ＝1)＝CC16C21115＝161， P(ξ＝2)＝CC26C21105＝131， 故 ξ 的分布列为
P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝CC81·C624124＝2109126＝221， P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝C224＋CC62418·C124＝2406186＝5163， P(η＝0)＝1－712－221－1536＝18236。
所以 η 的分布列为
η 50 30 10
0
P
1 72
外兴趣小组在高一某班进行了对“本次远足
活动同学们的表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种)， 按分层抽样的方法从被调查的学生中随机抽取了 11 人，具体调查结果如下 表：
满意 不满意
男生
2
3
女生
4
2
(1)若该班女生人数比男生人数多 4，求该班男生人数和女生人数； (2)在该班随机抽取一名学生，根据以上统计数据估计该同学持满意态度 的概率； (3)若从该班抽出的 11 名学生中任选 2 人，记选中的 2 人中对“本次远 足活动同学们的表现”满意的人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望。
83 126
所以 E(η)＝50×2 20816＋30×2109126＋10×2406186＋0×12 302186＝36730。
考点二 以相互独立事件为背景的期望与方差 【例 2】 (2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大 转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个 月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人， 发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅 使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：
(1)求 P(ξ＝3)。
(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖。记抽取的两 个小正方体着色面数之和为 6，设为一等奖，获得价值 50 元的礼品；记抽取 的两个小正方体着色面数之和为 5，设为二等奖，获得价值 30 元的礼品；记 抽取的两个小正方体着色面数之和为 4，设为三等奖，获得价值 10 元的礼品， 其他情况不获奖。求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望。
事件的独立性和 n 次独立重复试验模型的综合问题等；统计部分解答题应重点关 注古典概型与频率分布直方图综合以及回归分析的相关命题。题型主要有：
1．以相互独立事件、二项分布、超几何分布为背景求随机变量的分布列、 期望与方差。
2．回归分析与统计的综合问题。
考点一 超几何分布
【例 1】 某高中组织高一年级学生开展了一次“百里远足”活动。
专题五 概率统计 大题增分专项
3月31日星期二
全国卷 3 年考情分析
考|题|细|目|表
年份
全国Ⅰ卷
全国Ⅱ卷
全国Ⅲ卷
相互独立事件的概率、 2019 等比数列的定义、递推
数列·T21 二项分布、导数的应用 2018 及变量的数学期望、决 策性问题·T20
正态分布、二项分布的 2017
性质及概率、方差·T19
互斥事件的概率、 相互独立事件的概 率·T18
频率分布直方图、样 本的数字特征·T17
折线图、线性回归 茎叶图的应用及独立 方程模型问题·T18 性检验·T18
频率分布直方图、 独立性检验·T18
频数分布表、概率分 布列的求解、数学期 望的应用·T18
命|题|规|律 概率部分解答题的考查重点是离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，
ξ
0
1
2
P
2 11
6 11
3 11
E(ξ)＝0×121＋1×161＋2×131＝1112。
求超几何分布的分布列的一般步骤：①确定参数 N，M，n 的值；②明 确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率； ③列出分布列。
【变式训练 1】 (2019·福州市模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决 定在 2019 年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动。 为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征 集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用。方案如下： 将一个 4×4×4 的正方体各面均涂上红色，再把它分割成 64 个相同的小正 方体。经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为 ξ， 记抽奖一次中奖的礼品价值为 η。
(1)从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方 式都使用的概率；
(2)从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支付金额大于 1 000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化。现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2 000 元。 根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于2 000元 的人数有变化？说明理由。
解 (1)64 个小正方体中，三面着色的有 8 个，两面着色的有 24 个，一
面着色的有 24 个，另外 8 个没有着色， 所以 P(ξ＝3)＝C18·C18＋C26C4 124·C124＝2604106＝2603。 (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6。η 的取值为 50,30,10,0， P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝CC62824＝2 20816＝712，