第九章 P295-2979-2，9-3，9-6，9-8，9-9，9-13，9-14，9-15，9-169-2：已知一基带信号m(t)=cos2πt+2cos4πt，对其进行理想抽样：（1）为了在接收端能不失真地从已抽样信号m s(t)中恢复m(t)，试问抽样间隔应如何选择？（2）若抽样间隔取为0.2s，试画出已抽样信号的频谱图。

解：m(t)=cos2πt+2cos4πtm(t)包含两个频率成分：f1=1Hz , f2=2Hz , f m=2Hz（1）根据抽样定理，抽样间隔应取T s≤1/(2f m)=1/4=0.25s（2）若T s=0.2s，f s=1/T s=5Hz，采样信号的频谱图如下所示：基带信号m(t)的频谱为M（ω） m(t)M（ω）=π[ δ(ω+2π)+ δ(ω-2π)] +2π[ δ(ω+4π)+ δ(ω-4π)]或M（f）=1/2[ δ(f+1)+ δ(f-1)] +[ δ(f+2)+ δ(f-2)]理想抽样信号m s(t)的频谱为M s(ω)=1/T sΣM(ω-nωs)=5ΣM(ω-10πn)M s(f)=1/T sΣM(f-nf s)=5ΣM(f-5n)M s(f)2π…π…-5 0 2 4 6 f(Hz)或M s (ω) 10π… 5π … -10π 0 4π 8π 12π ω9-3：已知某信号m(t)的频谱M （ω）如图P9-1(b)所示。

将它通过传输函数为H 1（ω）的滤波器后再进行理想抽样。

（1） 抽样速率应为多少？（2） 若设抽样速率f s =3f 1，试画出已抽样信号m s (t)的频谱；（3） 接收端的接收网络应具有怎样的传输函数为H 2（ω），才能由m s (t)不失真地恢复m(t)。

图P9-1(b)解：（1）信号m(t)经过滤波器H 1（ω）后的频谱为M ‘（ω）=M （ω）H 1（ω），如下图所示，根据抽样定理，抽样速率f s ≥2f 1=ω1/π，f 1=ω1/(2π)。

（2）若抽样速率f s =3f 1，已抽样信号m s (t)的频谱为M s (ω)=1/T s ΣM ‘(ω-n ωs )=3f 1ΣM ‘(ω-6πf 1)，如下图所示。

-2ω1 0 2ω1 ω-ω1 0 ω1 ω ‘（3）接收端的接收网络的传输函数为H 2（ω）应该为1121,||()()0,H H w w w w w ìïï£ïï=íïïïïî其他，才能由m s (t)不失真地恢复m(t)。

9-6：设输入抽样器的信号为门函数G τ(t)，宽度τ=20ms ，若忽略其频谱第10个零点以外的频率分量，试求最小抽样速率。

解：门函数G τ(t)的频谱为G （ω）=τSa 2(ωτ/2)当ωτ/2=10π时，为第10个频谱零点，ω=20π/τ，f=ω/(2π)=10/τ=500Hz 。

根据抽样定理，抽样速率f s ≥2f ，最小抽样速率f s =2f=1000Hz 。

9-8：已知模拟信号抽样值的概率密度f(x) 如图P7-3所示。

若按四电平进行均匀量化，试计算信号量化信噪比。

图P7-3解：模拟信号抽样值的概率密度f(x)为1||,||1()0,x x f x ì-?ïï=íïïïî其他x ，若按四电平进行均匀量化，量化间隔为Δv=2/4=0.5，第i 个量化区间的终点为m i = -1 + iΔv= -1+0.5i (i=0,1,2,3,4)， 量化区间的终点为-1，-0.5，0，0.5，1；第i 个量化区间的量化电平为q i = (m i + m i-1)/2= -1.25+0.5i (i=1,2,3,4)，量化区间的量化电平为-0.75，-0.25，0.25，0.75；-1 0 1 x量化器输出的信号功率为S q =E(m)2] =121()xf x dx -ò=1421()ii m im i qf x dx -=åò=0.502210.5(0.75)(1)(0.25)(1)x dx x dx ----++-+蝌+0.51220.50.25(1)0.75(1)x dx x dx-+-蝌=0.522[0.25(1)x dx 创-ò+120.50.75(1)]x dx ?ò=3/16 错误！！应该计算如下：量化器输出的信号功率为S q =E(m)2]=121()x f x dx -ò=021(1)x x dx -+ò+120(1)x x dx -ò=2120(1)x x dx -ò=1/6量化噪声功率为N q =E(m-m q )2]=121()()q x m f x dx --ò =1421()()ii m q m i x m f x dx -=-åò=0.502210.5(0.75)(1)(0.25)(1)x x dx x x dx ---+++++蝌+0.51220.5(0.25)(1)(0.75)(1)x x dx x x dx --+--蝌=0.5202[(0.25)(1)xx dx ?-ò+120.5(0.75)(1)]x x dx --ò=1/48∴量化信噪比S q /N q =（3/16）/（1/48）=9 错误！！应该为：∴量化信噪比S q /N q =（1/6）/（1/48）=89-9：采用13折线A 律编码，设最小量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635单位：（1） 试求此时编码器输出码组，并计算量化误差；（2） 写出对应于该7位码（不包括极性码）的均匀量化11位码。

（采用自然二进制码）解：(1)设x=+635Δ，8位PCM 码组为：C 1C 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8x>0，C 1=1（极性）；段落码：512Δ<x<1024Δ，x处于第七段，C2C3C4=110；段内码：x-512Δ=123Δ，Δ7=32Δ，x处于段内第四个量化间隔，C5C6C7C8=0011；即编码器输出码组为11100011，对应的量化电平为512Δ+3×32Δ=608Δ。

∴可能存在的量化误差为635Δ-608Δ=27Δ>Δk/2=32Δ/2=16Δ∵量化误差一定不超过量化间隔Δk的一半，最大可能的量化误差为量化间隔的一半Δk/2=16Δ。

∴为了使编码造成的量化误差小于量化间隔Δk的一半，在解码时必须进行补偿，即必须加上该层量化间隔的一半。

∴译码器输出=512Δ+3×32Δ+32Δ/2=+624Δ；实际上，量化误差=635Δ-624Δ=11Δ，而不应该是27Δ。

(2)该7位码对应的量化电平为+608Δ，采用除2取余法，可求出其对应的均匀量化11位码为：C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11=010********（不包括极性）。

7-13：对10路带宽均为300~3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。

抽样速率为8kHz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度τ的矩形脉冲，且占空比为1。

试求传输此时分复用PCM信号所需的奈奎斯特基带带宽。

解：∵抽样速率为f s=8kHz，∴抽样间隔T s=1/f s=1/8000 s，对10信号进行PCM 时分复用传输，每路信号占用时间T=T s/10=1/80000 s。

抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，∴需要3位二进制编码，每位编码占用时间T b= T/3=1/240000 s。

∵码元波形是宽度τ的矩形脉冲，且占空比为1，∴码元波形宽度τ=T b= 1/240000 s，传输此时分复用PCM信号所需的奈奎斯特基带带宽B=1/2τ=120KHz。

7-14：单路话音信号的最高频率为4kHz，抽样速率为8kHz，以PCM方式传输。

设传输信号的波形为矩形脉冲，其宽度为τ，且占空比为1：（1）抽样后信号按8级量化，求PCM基带信号第一零点频宽；（2）若抽样后信号按128级量化，PCM二进制基带信号第一零点频宽又为多少？解：（1）信息传输速率R b=8k×㏒28=24kbit/s第一零点频宽f s=1/τ= R b=24kHz或：抽样间隔T s=1/f s=1/8000 s，8级量化PCM系统，需要3位二进制编码，每位编码占用时间T b= T s/3=1/24000 s，∴PCM系统最小带宽B=24KHz。

（2）R b=8k×㏒2128=56kbit/sf s=56kHz或：抽样间隔T s=1/f s=1/8000 s，128级量化PCM系统，需要7位二进制编码，每位编码占用时间T b= T s/7=1/56000 s，∴PCM系统最小带宽B=56KHz。

9-15：若12路话音信号（每路信号的最高频率均为4kHz）进行抽样和时分复用，将所得的脉冲用PCM系统传输，重做上题。

解：（1）R b=12×8k×㏒28=288kbit/sf s=1/τ= R b=288kHz（2）R b=12×8k×㏒2128=672kbit/sf s=672kHz9-16：已知话音信号的最高频率f m=3400Hz，今用PCM系统传输，要求信号量化信噪比S o/N q不低于30dB。

试求此PCM系统所需的奈奎斯特基带频宽。

解：由题意知，10lg（S o/N q）=30dB，S o/N q=1000∵PCM系统量化信噪比S o/N q=22N=1000，∴采用的二进制编码位数N≈5 PCM系统奈奎斯特基带频宽B=Nf m=5×3400Hz=17(kHz)R b=2B=2Nf m=2×17 kHz=34(kHz)第十一章 P371-37311-1，11-3，11-7，11-8，11-1311-1：设有8个码组：000000、001110、010101、011011、100011、101101、110110、111000。

试求它们的最小码距。

解：码距（汉明距离）是2个码组中对应位上数字不同的位数。

可以通过计算2个码组对应位模2的重量获得。

最小码距d0是码组集合中，所有码距的最小值。

∴最小码距d min=3。

11-3：已知两码组为(0000)、(1111)。

若该码集合用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错与纠错，问各能纠、检几位借码？解：∵最小码距d min=4。

∴有用于检错时，由d min≥e+1，得e=3，能检出3位错码；用于纠错时，由d min≥2t+1，得t=1，能纠正1位错码；同时用于检错与纠错时，由d min≥e+t+1，且e>t，得t=1，e=2，能同时检出2位错码，纠正1位错码。