第5模块 第4节[知能演练]一、选择题1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )A ．0 B.π12C.π6D.π4解析：因A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，可推出a ＝c ＝b . 答案：A2．在如下图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1C ．3D ．4解析：a ＝2·(12)2＝12，b ＝52·(12)3＝516，c ＝3·(12)4＝316，a ＋b ＋c ＝12＋516＋316 1.答案：A3．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：构造函数f (x )＝32x －11，此函数关于点P (112，0)对称，故f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，即S 10＝0.当n ≥11时，f (n )>0，∴a 11＝f (11)>0，∴S 11>0.此题应该选择B.答案：B4．设M (cos π3x ＋cos π4x ，sin π3x ＋sin π4x )(x ∈R )为坐标平面上一点，记f (x )＝|OM →|2－2，且f (x )的图象与射线y ＝0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n }，则|a n ＋3－a n |＝( )A ．24πB ．36πC ．24D ．36解析：f (x )＝|OM →|2－2＝[(cos π3x ＋cos π4x )2＋(sin π3x ＋sin π4x )2]－2＝2cos π12，令f (x )＝2cos π12x ＝0，∴π12x ＝kπ＋π2，x ＝12k ＋6(k ∈N *)． ∴a n ＝12n ＋6(n ∈N *)．∴|a n ＋3－a n |＝|12(n ＋3)＋6－(12n ＋6)|＝36. 答案：D 二、填空题5．设x ，y 为正数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1b 2的最小值是________．解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＝x ＋y ； 由等比数列的性质知b 1b 2＝xy ，所以(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y )2xy x 2＋y 2＋2xy xy ＝2＋x 2＋y 2xy ≥2＋2xy xy ＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案：46．家用电器一件2000元，实行分期付款，每期付相同款数，每期一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付12次即购买一年后付清．若按月利率1%，每月复利一次计算，则每期应付款________．(精确到0.1元)解析：把2000元存入银行12个月，月利1%，按复利计算，则本利和为2000×(1＋1%)12.每月存入银行a 元，月利1%，按复利计算，则本利和为a ＋a (1＋1%)＋…＋a (1＋1%)11＝a ·1－(1＋1%)121－(1＋1%)＝100a ·[(1＋1%)12－1]．由题意知2000(1＋1%)12＝100a ·[(1＋1%)12－1]⇒a ＝2000(1＋1%)12100[(1＋1%)12－1]≈177.7(元)． 答案：177.7元 三、解答题7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门预算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．解：该公司入世后经过n 个月，改革后的累计纯收入为T n －300－n ，不改革时的累计纯收入为70n －[3n ＋n (n －1)2·2]，又⎩⎪⎨⎪⎧ 90＝a ＋b 170＝2a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝80b ＝10. 由题意建立不等式80n ＋10－300－n >70n －3n －n (n －1)， 即n 2＋11n －290>0，得n >12.4. ∵n ∈N *，∴取n ＝13.答：入世后经过13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 8．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式．(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋Sn n <k 对∀n ∈N *恒对立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n .(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2. (3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S nn <0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋Sn n<k 对∀n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.[高考·模拟·预测]1．数列{a n }的通项a n ＝n 2(cos2nπ3－sin2nπ3)，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510解析：由于{cos 2nπ3－sin 2nπ3}以3为周期，故S 30＝(－12＋222＋32)＋(－42＋522＋62)＋…＋(－282＋2922302)＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2 ＝∑k ＝110⎣⎡⎦⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，故选A.答案： A2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(－π2，π2)，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k 等于________时，f (a k )＝0.解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数．若a n ∈(－π2，π2)，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0⇒f (a 14)＝0.答案：144．已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －t ，a n ≥tt ＋2－a n ，a n <t，且t <a 1<t ＋1，其中t >2，若a n ＋k＝a n (k ∈N *)，则k 的最小值为________．解析：∵t <a 1<t ＋1，且t >2，∴a 2＝a 1－t ，∴a 2∈(0,1)，即a 2<t . 又∵a 3＝t ＋2－a 2＝t ＋2－(a 1－t )＝2t ＋2－a 1>t ；∴a 4＝a 3－t ＝(2t ＋2－a 1)－t ＝t ＋2－a 1<t (∵t －a 1<0，∴2＋t －a 1<2<t )，∴a 5＝t ＋2－a 4＝t ＋2－(t ＋2－a 1)＝a 1；同理可得，a 6＝a 2，a 7＝a 3，故要使a n ＋k ＝a n (k ∈Z *)，则k 的最小值为4.答案：45．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos2nπ2)a n ＋sin2nπ2，n ＝1,2,3，….(1)求a 3，a 4的值，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1a 2n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .解：(1)当n ＝1时，a 3＝(1＋cos 2π2)a 1＋sin 2π2＝a 1＋1＝2；当n ＝2时，a 4＝(1＋cos 22π2)a 2＋sin 22π2＝2a 2＝4.∵当n 为奇数时，cos 2nπ20，sin 2nπ2＝1，当n 为偶数时，cos 2nπ2＝1，sin 2nπ2＝0.∴当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝1，∵a 1＝1，∴a 2n －1＝n .∴当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n . ∵a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，∴a n＝⎩⎨⎧12n ＋12(n 为奇数)2n2(n 为偶数).(2)由(1)可知b n ＝n2n ，∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得：(1－12)S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，∴12S n ＝12122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴S n ＝2－n ＋22n. [备选精题]6．已知O 为A 、B 、C 三点所在直线外一点，且OA →＝λOB →＋μOC →.数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝λa n －1＋μb n －1＋1b n ＝μa n －1＋λb n －1＋1(n ≥2)．(1)求λ＋μ的值；(2)令c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的通项公式； (3)当λ－μ＝12时，求数列{a n }的通项公式．解：(1)由A 、B 、C 三点共线，设AB →＝mBC →，则 AB →＝OB →－OA →＝mBC →＝m (OC →－OB →)， 化简得：OA →＝(m ＋1)OB →－mOC →， 所以λ＝m ＋1，μ＝－m ， 所以λ＋μ＝1.(2)由题设得a n ＋b n ＝(λ＋μ)(a n －1＋b n －1)＋2＝a n －1＋b n －1＋2(n ≥2)，即c n ＝c n －1＋2(n ≥2)，所以{c n }是首项为a 1＋b 1＝3，公差为2的等差数列，通项公式为c n ＝2n ＋1.(3)由题设得a n －b n ＝(λ－μ)(a n －1－b n －1)＝12(a n －1－b n －1)(n ≥2)，令d n ＝a n －b n ，则d n ＝12d n －1(n ≥2)．所以{d n }是首项为a 1－b 1＝1，公比为12的等比数列，通项公式为d n ＝12n －1.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋b n ＝2n ＋1a n －b n ＝12n －1， 解得a n ＝12n ＋n ＋12.。