二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a （a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终结果分母不含根号。
1.积的算数平方根的性质√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）2. 乘法法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。
4.有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。
1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。
“二次根式”经典练习题【典型例题】一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x（5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
（7）注：（书写格式（4）由5+x ≥0且x +4≠0得x ≥－5且x ≠－4∴当x ≥－5且x ≠－4时代数式45++x x在实数范围内有意义） 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是4.是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
6. 若2004a a -=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x8. 设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
9. 若m =，求m 的值．10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）≤0 ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -3.若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则x 的取值范围是（） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤44.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。
6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a8、把21)2(---x x 根号外的因式移入根号内，化简结果是（ ）。
A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2三．二次根式的化简与计算（二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术 平 方根的性质及二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =。
） 1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +2.下列各式中哪些是同类二次根式： （1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a 323c b a ，4cab ，a bc a3.计算：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅； （3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182 （5）－545321÷ （6）)(23522c ab c b a -÷4.计算（1）25051122183133++-- （2）)254414()3191(3323yy x xy yx x +-+ 5．已知1018222=++x x x x，则x 等于（ ）A ．4B ．±2C ．2D ．±4 6..已知12,12+=-=y x ，求xyx y x y y x 33++++的值。
四．二次根式的分母有理化 1已知：132-=x ，求12+-x x 的值。
2..已知:x =2323,2323-+=+-y ，求代数式3x 2－5xy +3y 2的值。
3.211+＋321+＋431+＋…＋100991+4.已知21915-=+-+x x ，试求x x +++1519的值。
五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题 1.估算31－2的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a = . 六．二次根式的比较大小（1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（倒数法）二次根式提高测试题一、选择题1有意义的x 的取值范围是（ ） 2．一个自然数的算术平方根为()0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A ）1,1a a -+（B C D ）221,1a a -+3．若0x <x 等于（ ）（A ）0 （B ）2x - （C ）2x （D ）0或2x4．若0,0a b <> ）（A ）-（B ）-（C ）（D ）a5m=，则21y y +的结果为（ ） （A ）22m + （B ）22m - （C 2 （D 2-6．已知,a b b a =-，则a 与b 的大小关系是（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）a b ≥ （D ）a b ≤7．已知下列命题：2= 36π-=；③()()()22333a a a +-=+-； a b =+．其中正确的有（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个8．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则m 的值为（ ）（A ）203 （B ）5126 （C ）138 （D ）1589．当12a ≤21a -等于（ ）（A ）2 （B ）24a - （C ）a （D ）0102得（ ） （A ）2 （B ）44x -+ （C ）2- （D ）44x -二、填空题11．若21x +的平方根是5±_____=．12．当_____x 时，式子4x -有意义．13与a 的被开方数相同，则_____a b +=．14．若x 的整数部分，y 的小数部分，则____x =，_____y =．15=0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有_____．16．若11x -<<1_____x +=．17．若0xy ≠=-_____．18．若01x <<等于_____． 三、解答题1 9．计算下列各题：（1⎛÷ ⎝；（23a20．已知())2006200702222a =+-+24a a +的值 ．21．已知y x ,是实数，且329922+--+-=x x x y ，求y x 65+的值.22．若42--y x 与()212+-y x 互为相反数，求代数式32341y y x x ++的值.23．若a b S 、、满足7,S ==，求S 的最大值和最小值.。