对数函数公式的推导（全） 由指数函数
(01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+
<证法1> 由于m n m n a a a +⋅= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = log a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =⋅=⋅对数恒等式 即：
log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+
性质2、log log log M a
a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M
N N a a a -==
=对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =-
性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠=
换底公式 特例：1log log a b b a =
<证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b =
log log log log a b b a N a N
a N
b b ⋅⎡⎤→==⎣⎦
log log log b b a N a N
N b b ⋅→==
由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =⋅ 故：log log log b b a N
N a =
性质4、log log n a a M n M =
特例：1
log log n a a n M M =
<证明> n n M M = 可知：()log log a n a M n M a a = 即 ()log log n a a M n M a a ⋅=
由于指数函数是单调函数，故：log log n a a M M n =⋅ 性质5、log log m m
n n a a b b =
<证明> lg lg log log lg lg m
m
n m m a n n n a b b b b a a ==⋅= 性质6、1log log n
a n a
b b = 注：性质4 和 性质6 都是 性质5的特例。