2014年广东省高考数学试卷(理科)一、选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.1.(5分)(2014•广东)已知集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2} D.{﹣1,0,1}2.(5分)(2014•广东)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i3.(5分)(2014•广东)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=()A. 5 B. 6 C.7 D.84.(5分)(2014•广东)若实数k满足0<k<9,则曲线﹣=1与曲线﹣=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等5.(5分)(2014•广东)已知向量=(1,0,﹣1),则下列向量中与成60°夹角的是()A.(﹣1,1,0)B.(1,﹣1,0)C.(0,﹣1,1)D.(﹣1,0,1)6.(5分)(2014•广东)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,107.(5分)(2014•广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定8.(5分)(2014•广东)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{﹣1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)(2014•广东)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为_________.10.(5分)(2014•广东)曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为_________.11.(5分)(2014•广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为_________.12.(5分)(2014•广东)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=_________.13.(5分)(2014•广东)若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…lna20=_________.(二)、选做题(14~15题,考生只能从中选作一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)(2014•广东)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为_________.【几何证明选讲选做题】15.(2014•广东)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= _________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)(2014•广东)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).17.(13分)(2014•广东)随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,30] 3 0.12(30,35] 5 0.20(35,40]8 0.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.18.(13分)(2014•广东)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.19.(14分)(2014•广东)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{a n}的通项公式.20.(14分)(2014•广东)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的每一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.21.(14分)(2014•广东)设函数f(x)=,其中k<﹣2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k<﹣6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).2014年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.1.(5分)(2014•广东)已知集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{0,1} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,2} D.{﹣1,0,1}考点:并集及其运算.专题:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解:∵集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},∴M∪N={﹣1,0,1,2},故选:B点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)(2014•广东)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i考点:复数相等的充要条件.专题:数系的扩充和复数.分析:根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得z的值.解答:解:∵复数z满足(3+4i)z=25,则z====3﹣4i,故选:A.点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)(2014•广东)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=()A. 5 B. 6 C.7 D.8考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,由,解得,即A(﹣1,﹣1),此时z=﹣2﹣1=﹣3,此时n=﹣3,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点,B,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,由,解得,即B(2,﹣1),此时z=2×2﹣1=3,即m=3,则m﹣n=3﹣(﹣3)=6,故选:B.点评:本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.4.(5分)(2014•广东)若实数k满足0<k<9,则曲线﹣=1与曲线﹣=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论.解答:解:当0<k<9,则0<9﹣k<9,16<25﹣k<25,即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25,b2=9﹣k,c2=34﹣k,曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25﹣k,b2=9,c2=34﹣k,即两个双曲线的焦距相等,故选:A.点评:本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.5.(5分)(2014•广东)已知向量=(1,0,﹣1),则下列向量中与成60°夹角的是()A.(﹣1,1,0)B.(1,﹣1,0)C.(0,﹣1,1)D.(﹣1,0,1)考点:数量积表示两个向量的夹角.专题:空间向量及应用.分析:根据空间向量数量积的坐标公式,即可得到结论.解答:解:不妨设向量为=(x,y,z),A.若=(﹣1,1,0),则cosθ==,不满足条件.B.若=(1,﹣1,0),则cosθ===,满足条件.C.若=(0,﹣1,1),则cosθ==,不满足条件.D.若=(﹣1,0,1),则cosθ==,不满足条件.故选:B点评:本题主要考查空间向量的数量积的计算,根据向量的坐标公式是解决本题的关键.6.(5分)(2014•广东)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10考点:频率分布直方图.专题:图表型;概率与统计.分析:根据图1可得总体个数,根据抽取比例可得样本容量,计算分层抽样的抽取比例,求得样本中的高中学生数,再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.解答:解:由图1知:总体个数为3500+2000+4500=10000,∴样本容量=10000×2%=200,分层抽样抽取的比例为,∴高中生抽取的学生数为40,∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选:A.点评:本题借助图表考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样的特征是关键.7.(5分)(2014•广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定考点:空间中直线与直线之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得,∴l1与l4的位置关系不确定.解答:解:∵l1⊥l2,l2⊥l3,∴l1与l3的位置关系不确定,又l4⊥l3,∴l1与l4的位置关系不确定.故A、B、C错误.故选:D.点评:本题考查了空间直线的垂直关系的判定,考查了学生的空间想象能力,在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.8.(5分)(2014•广东)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{﹣1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60 B.90 C.120 D.130考点:元素与集合关系的判断.专题:概率与统计.分析:从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手,由x得取值,绝对值只能是1或0,将x分为两组A={0},B={﹣1,1},分别讨论x i所有取值的可能性,分为5个数值中有2个是0,3个是0,4个是0这样的三种情况分别进行讨论.解答:解:由题目中“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”考虑x1,x2,x3,x4,x5的可能取值,设A={0},B={﹣1,1} 分为①有2个取值为0,另外3个从B中取,共有方法数:;②有3个取值为0,另外2个从B中取,共有方法数:;③有4个取值为0,另外1个从B中取,共有方法数:.∴总共方法数是++=130.即元素个数为130.故选:D.点评:本题看似集合题,其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中,分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法,也是高考中一定会考查到的思想方法.二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)(2014•广东)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞).考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式的解法及应用.分析:把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.解答:解:由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5,可得①,或②,或③.解①求得x≤﹣3,解②求得x∈∅,解③求得x≥2.综上,不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞),故答案为:(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞).点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.10.(5分)(2014•广东)曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为y=﹣5x+3..考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的概念及应用.分析:利用导数的几何意义求得切线的斜率,点斜式写出切线方程.解答:解;y′=﹣5e﹣5x,∴k=﹣5,∴曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为y﹣3=﹣5x,即y=﹣5x+3.故答案为:y=﹣5x+3点评:本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程,属基础题.11.(5分)(2014•广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.考点:众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:根据条件确定当中位数为6时,对应的条件即可得到结论.解答:解:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,有种方法,若七个数的中位数是6,则只需从0,1,2,3,4,5,选3个,从7,8,9中选3个不同的数即可,有种方法,则这七个数的中位数是6的概率P==,故答案为:点评:本题主要考查古典概率的计算,注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.12.(5分)(2014•广东)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=2.考点:正弦定理.专题:三角函数的求值.分析:已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,再利用正弦定理变形即可得到结果.解答:解:将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,∵sin(B+C)=sinA,∴sinA=2sinB,利用正弦定理化简得:a=2b,则=2.故答案为:2点评:此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.13.(5分)(2014•广东)若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…lna20=50.考点:等比数列的性质;对数的运算性质.专题:等差数列与等比数列.分析:直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案.解答:解:∵数列{a n}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,则a10a11=e5,∴lna1+lna2+…lna20==ln(e5)10=lne50=50.故答案为:50.点评:本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础题.(二)、选做题(14~15题,考生只能从中选作一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)(2014•广东)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1).考点:点的极坐标和直角坐标的互化.专题:坐标系和参数方程.分析:把极坐标方程化为直角坐标方程,再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组,求得两条曲线的交点坐标.解答:解:曲线C1的方程ρsin2θ=cosθ化为直角坐标方程为y2=x,C2的方程ρsinθ=1即y=1,由,求得,∴曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1),故答案为:(1,1).点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,求两条曲线的交点坐标,属于基础题.【几何证明选讲选做题】15.(2014•广东)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= 9.考点:相似三角形的判定;三角形的面积公式.专题:计算题;几何证明.分析:利用ABCD是平行四边形,点E在AB上且EB=2AE,可得=,利用△CDF∽△AEF,可求.解答:解:∵ABCD是平行四边形,点E在AB上且EB=2AE,∴=,∵ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴△CDF∽△AEF,∴=()2=9.故答案为:9.点评:本题考查相似三角形的判定,考查三角形的面积比,属于基础题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)(2014•广东)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)由函数f(x)的解析式以及f()=,求得A的值.(2)由(1)可得f(x)=sin(x+),根据f(θ)+f(﹣θ)=,求得cosθ的值,再由θ∈(0,),求得sinθ的值,从而求得f(﹣θ)的值.解答:解:(1)∵函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.∴Asin(+)=Asin=A•=,∴A=.(2)由(1)可得f(x)=sin(x+),∴f(θ)+f(﹣θ)=sin(θ+)+sin(﹣θ+)=2sin cosθ=cosθ=,∴cosθ=,再由θ∈(0,),可得sinθ=.∴f(﹣θ)=sin(﹣θ+)=sin(π﹣θ)=sinθ=.点评:本题主要考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的基本关系,属于中档题.17.(13分)(2014•广东)随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,30] 3 0.12(30,35] 5 0.20(35,40]8 0.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.考点:频率分布直方图;频率分布表;古典概型及其概率计算公式.专题:综合题;概率与统计.分析:(1)利用所给数据,可得样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,可得样本频率分布直方图;(3)利用对立事件可求概率.解答:解:(1)(40,45]的频数n1=7,频率f1=0.28;(45,50]的频数n2=2,频率f2=0.08;(2)频率分布直方图:(3)设在该厂任取4人,没有一人的日加工零件数落在区间(30,35]为事件A,则至少有一人的日加工零件数落在区间(30,35]为事件,已知该厂每人日加工零件数落在区间(30,35]的概率为,∴P(A)==,∴P()=1﹣P(A)=,∴在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为.点评:本题考查了频数分布表,频数分布直方图和概率的计算,属于中档题.18.(13分)(2014•广东)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.专题:空间位置关系与距离;空间向量及应用.分析:(1)结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF,即得所求;(2)由已知数据求出必要的线段的长度,建立空间直角坐标系,由向量法计算即可.解答:解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,又AF⊥PC,∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF;(2)设AB=1,在RT△PDC中,CD=1,∠DPC=30°,∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,∴DF=,AF==,∴CF==,又FE∥CD,∴,∴DE=,同理可得EF=CD=,如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),E(,0,0),F(,,0),P(,0,0),C(0,1,0)设向量=(x,y,z)为平面AEF的法向量,则有,,∴,令x=4可得z=,∴=(4,0,),由(1)知平面ADF的一个法向量为=(,1,0),设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ,可知θ为锐角,cosθ=|cos<,>|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为:点评:本题考查用空间向量法求二面角的余弦值,建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键,属中档题.19.(14分)(2014•广东)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{a n}的通项公式.考点:数列递推式;数列的函数特性.专题:点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)在数列递推式中取n=2得一关系式,再把S3变为S2+a3得另一关系式,联立可求a3,然后把递推式中n取1,再结合S3=15联立方程组求得a1,a2;(2)由(1)中求得的a1,a2,a3的值猜测出数列的一个通项公式,然后利用数学归纳法证明.解答:解:(1)由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,得:S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得:a3=7.再在S n=2na n+1﹣3n2﹣4n中取n=1,得:a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得:a2=5,a1=3.∴a1,a2,a3的值分别为3,5,7;(2)∵a1=3=2×1+1,a2=5=2×2+1,a3=7=2×3+1.由此猜测a n=2n+1.下面由数学归纳法证明:1、当n=1时,a1=3=2×1+1成立.2、假设n=k时结论成立,即a k=2k+1.那么,当n=k+1时,由S n=2na n+1﹣3n2﹣4n,得,,两式作差得:.∴==2(k+1)+1.综上,当n=k+1时结论成立.∴a n=2n+1.点评:本题考查数列递推式,训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题,考查了学生的灵活应变能力和计算能力,是中档题.20.(14分)(2014•广东)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的每一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.考点:轨迹方程;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△=0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x0和y0的关系式,即P点的轨迹方程.解答:解:(1)依题意知,求得a=3,b=2,∴椭圆的方程为+=1.(2)当过点P的直线斜率不存在时,P的坐标为(±3,±2)时符合题意,设过点P(x0,y0)的切线为y=k(x﹣x0)+y0,+=+=1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4],∴(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,∴﹣1=k1•k2==﹣1,∴x02+y02=13.把点(±3,±2)亦成立,∴点P的轨迹方程为:x2+y2=13.点评:本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y 关系.21.(14分)(2014•广东)设函数f(x)=,其中k<﹣2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k<﹣6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).考点:复合函数的单调性;函数的定义域及其求法;函数单调性的性质.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:(1)利用换元法,结合函数成立的条件,即可求出函数的定义域.(2)根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.(3)根据函数的单调性,即可得到不等式的解集.解答:解:(1)设t=x2+2x+k,则f(x)等价为y=g(t)=,要使函数有意义,则t2+2t﹣3>0,解得t>1或t<﹣3,即x2+2x+k>1或x2+2x+k<﹣3,则(x+1)2>2﹣k,或(x+1)2<k﹣4,(舍去),即x+1>或x+1,即x>﹣1或x,则函数的定义域为(﹣1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣)∪(﹣1﹣,﹣1+).(2)=,由f'(x)>0,即(x2+2x+k+1)(2x+2)<0,则(x+1+)(x+1﹣)(x+1)<0解得x<﹣1﹣或﹣1<x<﹣1+,结合定义域知,x<﹣1﹣或﹣1<x<﹣1+,即函数的单调递增区间为:(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1,﹣1+),同理解得单调递减区间为:(﹣1﹣,﹣1),(﹣1+,+∞).(3)由f(x)=f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)﹣3=(3+k)2+2(3+k)﹣3,则[(x2+2x+k)2﹣(3+k)2]+2[(x2+2x+k)﹣(3+k)]=0,∴(x2+2x+2k+5)(x2+2x﹣3)=0即(x+1+)(x+1﹣)(x+3)(x﹣1)=0,∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1,∵k<﹣6,∴1∈(﹣1,﹣1+),﹣3∈(﹣1﹣,﹣1),∵f(﹣3)=f(1)=f(﹣1﹣)=f(﹣1+),且满足﹣1﹣∈(﹣∞,﹣1﹣),﹣1+∈(﹣1+,+∞),由(2)可知函数f(x)在上述四个区间内均单调递增或递减,结合图象,要使f(x)>f(1)的集合为:()∪(﹣1﹣,﹣3)∪(1,﹣1+)∪(﹣1+,﹣1+).点评:本题主要考查函数定义域的求法,以及复合函数单调性之间的关系,利用换元法是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.。