第六章 粘性流体绕物体的流动6－1 已知粘性流体的速度场为k xz j xyz i y x u 22835 (m/s)。

流体的动力粘度μ＝0.144Pa·s ，在点(2，4，－6)处σyy ＝－100N/m 2，试求该点处其它的法向应力和切向应力。

已知：y x u 2x 5 ，z y x u 3y ，2z 8z x u ，μ＝0.144Pa·s ，σyy ＝－100N/m 2。

解析：在点(2，4，－6)处，有8010xxy x u ，363y z x yu ，19216z z x z u ；2052x x y u ，0x z u，723y z y x u ，243y y x zu ，28882z z x u ， 0z y u ；1zy x s 2361923680iv d zu y u x u u 由div 322yyyy u p ，可得 Pa 976.66100236144.032)36(144.02div 322yy yy u p ，则 Pa 592.66236144.03280144.02976.66div 322x xx u x u pPa 336.34236144.032192144.02976.66div 322z zz u z u pPa 488.7)2072(144.0)(xy yx xyyu xu Pa 456.3)240(144.0)(yz zy yz zu y u Pa 472.41)2880(144.0)(zx xz zx xu z u 6－2 两种流体在压力梯度为k xpd d 的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流动，试导出其速度分布式。

已知：k xpd d 。

解析：建立坐标系，将坐标原点放置在两种液体的分界面上，x 轴与流动方向相同，y 轴垂直于平行平板。

根据题意，两流体在y 轴和z 轴方向的速度分量都为零，即u y ＝u z ＝0。

由连续性方程知xu x＝0，即速度分量u x 与x 坐标无关。

另外，由式(6－6)可以看出，在质量力忽略不计时，有0 y p ，0 zp，因此，压力p 只是x 的函数，于是式(6－6)可简化为 )(1d d 2x 22x 2x z u y u x p u由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动，因此上式中2x 2z u 与2x2yu 项相比可以忽略不计，同时，由于x u ＝0，那么0d d xu ，于是上式可进一步简化为 x pyu d d 1d d 2x 2 对于第一种流体有 1121x 2d d 1d d kx p y u 对于第二种流体有 2222x 2d d 1d d kx p y u积分以上两式，得111x d d C y k y u ； 122x d d C y ky u 再次积分以上两式得21211x 2C y C y k u； 21222x 2C y C y k u 根据边界条件确定四个积分常数：① 当y ＝0时，x2x1u u ，得 22C C ； ② 当y ＝0时，21 ，即yuy u d d d d 2x 21x 1，得 2111 C C ；③ 当y ＝b 时，0x1 u ，得 b C b k C 11222 ；④ 当y ＝b 时，0x1 u ，得 b C b k C 12222 。

将以上所得各式联立，解得1212112 kb C ； 1212212 kb C ； 12222 kb C C于是得到两种流体的速度分布式分别为12212121211x 22kb y kb y k u ； 12212122222x 22kb y kb y ku 6－3 密度为ρ、动力粘度为μ的薄液层在重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动，试证明：(1) 流速分布为 )(2sin 22h H g u(2) 单位宽度流量为 33sin H g q已知：ρ，μ，H ，h ，θ。

解析：(1) 建立坐标系如图所示，液层厚度方向h 为自变量，由于液层的流动为不可压缩一维稳定层流流动，则N －S 方程可简化为0sin 22 hu g 将上式整理后，两次积分得212sin 2C h C h g u由边界条件：当h ＝0时，0 hu，得 01 C ； 当h ＝H 时，u ＝0，得sin 222H g C。

所以流速分布为 )(2sin 22h H g u(2) 单位宽度流量为3H22H3sin d )(2sin d H g h h H g h u q6－4 一平行于固定底面0－0的平板，面积为A ＝0.1m 2，以衡速u ＝0.4m/s 被拖曳移动，平板与底面间有上下两层油液，上层油液的深度为h 1＝0.8mm ，粘度μ1＝0.142N·s/m 2，下层油液的深度为h 2＝1.2mm ，粘度μ2＝0.235N·s/m 2，求所需要的拖曳力T 。

已知：A ＝0.1m 2，u ＝0.4m/s ，h 1＝0.8mm ，h 2＝1.2mm ，μ1＝0.142N·s/m 2，μ2＝0.235N·s/m 2。

解析一：建立坐标系如图所示，由于两层油液均作不可压缩一维稳定层流流动，则N －S 方程可简化为022 z u将上式两次积分后，得C z C u对两层油液的速度分布可分别写为222111C z C u C z C u 由边界条件：当z ＝0时，02 u ，得 02C ； 当z ＝h 2时，u 1＝u 2，得 22121h C C h C ； 当z ＝h 1＋h 2时，u 1＝u ，得 1211)(C h h C u ； 当z ＝h 2时，21 ，即zuz u 2211 ，得 2211C C 。

将以上四式联立，可解得 122121 h h u C； 12212211)( h h h u C ； 122112 h h u C ； 02C 代入上述速度分布式，得zh h u u h h h u z h h u u 1221121221221122121)(那么，拖曳平板所需要的力为 N 724.310)142.02.1235.08.0(4.01.0235.0142.0|31221211121 h h u A z u AT h h z解解析析二二：：设两油液分界面处的速度为*u ，由于在题设条件下，油液在z 方向的速度分布为线性分布，且在垂直于板面方向的粘性切应力为一常数，即0 。

因此有2*21*1h u h u u 所以 m/s 19.010)142.02.1235.08.0(102.1142.04.033122121* h h h u u那么，拖曳平板所需要的力为 N 724.3102.119.01.0235.032*2 h u AT 6－5 粘度μ＝0.05Pa·s 的油在正圆环缝中流动，已知环缝内外半径分别为r 1＝10mm ，r 2＝20mm ，若外壁的切应力为40N/m 2，试求(1)每米长环缝的压力降；(2)每秒流量；(3)流体作用在10m 长内壁上的轴向力。

已知：r 1＝10mm ，r 2＝20mm ，μ＝0.05Pa·s ，w2 ＝40N/m 2。

解析：建立坐标系，由于0θr u u ，由连续性方程可知，0xxu ；忽略质量力，N －S 方程可简化为)d d d d (d d x 2x 2r r u ru x p或写成 r x p r u r r d d 1)d d (d d x 对上式进行两次积分上式，得212x ln d d 41C r C r xp u根据边界条件确定积分常数： ① 当r ＝r 1时，0x u ，得 11212ln d d 41r C r xp C；② 当r ＝r 2时，0x u ，得 21222ln d d 41r C r xp C。

联立以上两式，得 )ln()(d d 411222211r r r r x p C ； )ln()ln ln (d d 41122211222r r r r r r x p C代入上述速度分布式，得)]ln()ln([4)]ln()ln([d d 412122122222m 2122122222x r r r r r r r r R r r r r r r r r x p u流量计算式为2121r r 2122122222r r x d 2)]ln()ln([d d 41d 2r r rr r r r r r r x p r r u Q])ln()([8])ln()([d d 812221224142m 12221224142r r r r r r R r r r r r r x p式中：xpR d d m，为单位体积流体在单位管长内流动时所造成的机械能损失，亦即单位管长上的压力损失或压力降，称为压力坡度或称比摩阻。

摩擦切应力分布式为]1)ln(2)([d d 211)ln()(d d 41d d 21d d 122221122221x r r r r r r x pr r r r r x p r x p r u(1) 当r ＝r 2时，w2 ＝40N/m 2，代入上式得到每米长环缝的压力降为Pa/m 8.8714]02.0)01.0/02.0ln(2/)02.001.0(02.0[402]1)ln(2)(/[2d d 2221222212m r r r r r r x pR (2) 每秒钟的流量为/sm 1038.1])01.0/02.0ln()01.002.0(01.002.0[05.088.871414.3])ln()([8332224412221224142m r r r r r r R Q(3) 流体作用在10m 长内壁上的轴向力为N85.311001.014.32]01.0)01.0/02.0ln(202.001.001.0[28.87142]1)ln(2)([d d 212211122221111w Lr r r r r r r xp A F6－6 设平行流流过平板时的附面层速度分布为2)2(y y u u，试导出附面层厚度δ与x的关系式，并求平板一面上的阻力。

平板长为L ，宽为B 。

流动为不可压缩稳定流动。

已知：L ，B ，2)2(y y u u。

解析：根据题意，对于层流附面层，由牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为u y u y uy 2]4[2)(0y 20w ① 附面层的动量损失厚度δ2为152d ])2(1][)2([d )1(δ22δ02y y y y y y u u u u将以上两式代入动量积分方程(6－30)式，得到xu u d d 15222上式整理后为 x u d 51d对上式积分得C x u51212 由边界条件：x ＝0，δ＝0，得C ＝0。