图像的傅里叶变换
成绩
实验论文
题目：图像的傅里叶变换
学生姓名：代朋车
学生学号：1114020207
系别：电气信息工程学院
专业：电子信息工程
年级：2011级
任课教师：沈晓波
电气信息工程学院制
2013年12月
图像的傅里叶变换
学生：代朋车
任课教师：沈晓波
电气信息工程学院 电子信息工程
1实验题目
图像的傅里叶变换
2实验对象
声音信号（自己的声音）/图像信号（自选）/自定义时域信号
3 实验任务
（1） 自行录制一段自己的语音或下载一段音乐，完成FFT 运算，具体参数自行规
定
基本要求：显示原语音信号图像、FFT 频谱，要求以上图像显示在同一个fig ，最终还原语音信号。

（2） 自行下载一幅图，格式不限，完成FFT 运算，具体参数可自行设定。

基本要求：显示原点在中心位置，画出幅度谱、相位谱能量或功率谱、虚部、实部，最终还原图像信号，要求以上图像显示在同一个fig 。

4 实验原理
4.1理论基础
连续傅里叶变换的定义：函数f(x)的一维连续傅里叶变换由下式定义： 2()()j ux F u f x e dx π∞
--∞=⎰
式中, 21J =-。

F(u)的傅里叶反变换定义为：
2()()j ux f x F u e du π∞
-∞==⎰ 这里f(x)是实函数，它的傅里叶变换F(u)通常是复函数。

F(u)的实部、虚部、振幅、
能量和相位分别表示如下：
所示。

F(u)傅里叶频谱、相位谱和能量谱分别表示如下；
F(u)=R(u)+jI(u)
傅里叶频谱 )()(R |F |22u I u u +=）（
相位谱 )(/)(arctan u R u I u =）（φ
能量谱 )()(|)(|222u I u R u F u +==E ）
（ 同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为： F(u,v)=∑∑==+1-N 0x 1-N 0y vy )/N (ux j2y)e
F(x ,1πN
式中，u=0,1,2,…,N-1, v=0,1,2,…,N-1。

二维离散傅里叶反变换定义为： F(x,y)=∑∑-=-=+101
0/)(2),(1N u N v N vy ux j e v u F N π 式中，x=0,1,2,…,N-1, y=0,1,2,…,N-1,u,v 是频率变量。

与一维情况一样，二维函数的离散傅里叶频谱、相位谱和能量谱为：
傅里叶频谱 F(u,v)=),(),(22v u I v u R +
相位谱 ),(/),(arctan ,v u R v u I v u =）（φ
能量谱 ),(),(|),(|,222v u I v u R v u F v u +==E ）
（ 4.2设计方案
4.2.1对音频进行FFT 运算
clear all;
fs=8000;
x1=wavread('安妮的仙境.wav');
t=(0:length(x1)-1)/8000;
subplot(1,2,1);
plot(t,x1)
grid on;axis tight;
title('原始语音信号');
xlabel('time(s)');
ylabel('幅度');
y1=fft(x1,2048);
f=fs*(0:1023)/2048; %对信号做2048点FFT 变换
subplot(1,2,2);
plot(f,abs(y1(1:1024))) %做原始语音信号的FFT频谱图grid on;axis tight;
title('原始语音信号FFT频谱')
xlabel('Hz');
ylabel('幅度');
fa=41400;
wavplay(x1,fa);
4.2.2对图像进行FFT运算
clear;
J=imread('autumn.tif');
I=rgb2gray(J);
subplot(3,3,1);
imshow(real(I));
%I=(:,:,2);
title('（1）原图');
fftI=fft2(I);
sfftI=fftshift(fftI);
RRFdp1=real(sfftI);
IIFdp1=imag(sfftI);
a=sqrt(RRFdp1.^2+IIFdp1.^2);
a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;
subplot(3,3,2);
imshow(real(a));
title('（2）幅值谱');
b=angle(fftI);
subplot(3,3,3);
imshow(real(b));
title('（3）相位谱');
theta=30;
RR1=a*cos(theta);
II1=a*sin(theta);
fftI1=RR1+i.*II1;
C=ifft2(fftI1)*255;
subplot(3,3,4);
imshow(real(C));
title('（4）幅值谱重构图像');
MM=150;
RR2=MM*cos(angle(fftI));
II2=MM*sin(angle(fftI));
fftI2=RR2+i.*II2;
D=ifft2(fftI2);
subplot(3,3,5);
imshow(real(D));
title('（5）相位谱重构图像');
x=RRFdp1;
subplot(3,3,6);
imshow(real(x));
title('（6）实部');
y=IIFdp1;
subplot(3,3,7);
imshow(real(y));
title('（7）虚部');
5 实验过程
（1）下载一曲音乐，用cool2.1软件截取一段音频，将这段音频为.wav格式并保存。

打开MATLAB,把这段音频进行傅里叶变换，并获得音频的频谱，然后把频谱图以.jpg 格式保存。

（2）自选一幅图像，在MATLAB中进行图像傅里叶变换，并获得图像幅度谱、相位谱、能量或功率谱、虚部、实部。

把运行后得到的图片以.jpg格式保存。

（3）建立一个文件夹，将Word文档和M文件放到文件夹中。

6 实验结果
6.1对音频进行FFT运算的结果
图1 音频傅里叶变换
6.2对图像进行FFT运算的结果
图 2 图像傅里叶变换
7 实验分析及结论
7.1 实验分析
图像变换是将图像从空间（2D）变换到变换域。

变换的目的是根据图像在变换域的某些性质对其进行处理。

通常，这些性质在空间域难以获得，在变换域处理完成后，将处理结果再反变换到空间域。

7.2 实验结论
本次实验介绍了数字图像处理中几种常用的变换：傅里叶变换、离散傅里叶变换、的概念、性质、和应用。

图像的傅里叶变换是使用最广的一种变换，可应用与图像特征提取、图像增强等。

参考文献
[1] 姚敏.数字图像处理[M].北京：机械工业出版社,2006,4（3）：247-289.
淮南师范学院电气信息工程学院XXXX专业XXXX实验论文
[2] 孙即祥.图像分析[M].北京：科学出版社,2005,3（2）：23-56.
[3] 何明一.卫保国[M].数字图像处理.北京：科学出版社,2005，12（2）：1023-1108.
[4] 许录平.数字图像处理[M].北京：科学出版社,2007,6（2）：345-367.
[5] 霍宏涛.数字图像处理[M].北京：机械工业出版社,2004,9(1):129-130.
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