考点探究
＝tanπ4 ＋(k－1)·π4 ＋x ＝tan(k＋1－1)·π4 ＋x，猜想也正确．
由①，②知对任何 n∈N*，an＝tanπ4 （n－1）＋x都正确．
考点探究
考点2 用数学归纳法证明恒等式
【 例 2 】 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 12 ＋ 22 ＋ … ＋ n2 ＝ n（n＋1）6（2n＋1）(n∈N*)．
(1)写出 a1，a2，a3； (2)求出点 An(an，0)(n∈N*)的横坐标 an 关于 n 的表达 式并证明． 自主解答：
考点探究
解析：(1)由题意解得 a1＝2，a2＝6，a3＝12.
(2)依题意，得 xn＝an－12＋an，yn＝ 3·an－2an－1，
由此及 yn2＝3·xn 得
考点探究
a4＝tan3·π4 ＋x.
(2)猜想：an＝tan(n－1)·π4 ＋x.
下面用数学归纳法证明：
①当 n＝1 时，显然成立； ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想正确，
即 ak＝tan(k－1)·π4 ＋x.
则当 n＝k＋1 时，
ak＋1＝11－＋aakk＝11＋ －ttaann((kk－－11))··π π44 ＋ ＋xx
考点探究
(1＋1)1＋12…1＋21k1＋2k1＋1≤61－21k·1＋2k1＋1 ＝61＋2k1＋1－21k－221k＋1＝61－2k1＋1－221k＋1 ＜61－2k1＋1. 当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知，对任意 n∈N*，都有(1＋1)1＋12…1＋21k≤61－21k. 点评：用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 时成立得到 n＝k＋1 时成立，主要 方法有放缩法、基本不等式法，作差比较法等．
高考总复习数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
第七节 数学归纳法
考纲要求
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单 的数学命题．
考点探究
考点1 探索、归纳、猜想与证明
【例 1】 如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn， yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲线 C：y2＝3x(y≥0)上的 n 个点， 点 Ai(ai，0)(i＝1，2，3，…，n)在 x 轴的正半轴上，且△Ai1AiPi 是正三角形(A0 是坐标原点)．
考点探究
变式探究 1．在数列{an}中，a1＝tan x，an＋1＝11－＋aann. (1)写出 a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式，并加以证明． 解析：(1)a2＝11＋ －ttaann xx＝tanπ4 ＋x， a3＝11＋ －ttaannππ44 ＋ ＋xx＝tan2·π4 ＋x，
②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即 12＋22＋…＋k2＝k（k＋1）6（2k＋1）. 当 n＝k＋1 时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k（k＋1）6（2k＋1） ＋(k＋1)2＝（k＋1）[（k＋1）6＋1][2（k＋1）＋1]. 所以，当 n＝k＋1 时，等式仍然成立．
考点探究
由①，②可知，对于一切 n∈N*等式恒成立． 点评：用数学归纳法证明恒等式时应注意：明确初始值 n0 的取 值并验证 n＝n0 时命题的真假(必不可少)．“假设 n＝k 时命题正确” 并写出命题形式．分析“n＝k＋1”时命题是什么，并找出与“n＝ k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目 标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配 方等．可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设 要用到，结论写明莫忘掉．
考点探究
则当 n＝k＋1 时，1×1 3＋3×1 5＋…＋（2k－1）1（2k＋1）＋ 1
（2k＋1）（2k＋3） ＝2kk＋1＋（2k＋1）1（2k＋3）＝（2kk（＋21k）＋（3）2k＋＋13） ＝（2k＋2k12＋）3（k＋2k1＋3）＝2kk＋＋13＝2（kk＋＋11）＋1， 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由①②可知，对一切 n∈N*等式都成立．
考点探究
变式探究
2．用数学归纳法证明：对任意的
n∈N*，1×1 3＋
1 3×5
＋…
＋
（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
证明：①当 n＝1 时，左边＝1×1 3＝31，ห้องสมุดไป่ตู้
右边＝2×11＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，
即有1×1 3＋3×1 5＋…＋（2k－1）1（2k＋1）＝2kk＋1，
3·an－2an－12＝32(an＋an－1)，
即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．
由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．
下面用数学归纳法予以证明：
①当 n＝1 时，命题显然成立．
考点探究
②假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即有 ak＝k(k＋1)， 则当 n＝k＋1 时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)， 得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，即 a2k＋1－2(k2＋k＋1)ak＋1＋ [k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，解得 ak＋1＝(k＋1)(k＋2)(ak＋1＝k(k－1)＜ ak 不合题意，舍去)，即当 n＝k＋1 时，命题也成立．由①②可知，命题 成立． 点评：解“归纳——猜想——证明”题的一般步骤：(1)准确计算出 前若干具体项，这是归纳、猜想的基础；(2)通过观察、分析、比较、联 想，猜出一般结论；(3)用数学归纳法证明猜想的正确性．
思路点拨：明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题的真假(必 不可少)，“假设 n＝k 时命题正确”并写出命题形式．分析“n＝k＋ 1”时命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别，并弄清左 端应增加的项．
自主解答：
考点探究
证明：①当 n＝1 时，左端＝1，右端＝1×（1＋1） 6 （2＋1）＝1， 左端＝右端，等式成立．
考点探究
考点3 用数学归纳法证明不等式
【例 3】 已知 n∈N*，证明：(1＋1)1＋12…1＋21n≤61－21n. 证明：(1)当 n＝1 时，左边＝(1＋1)1＋12＝3，右边＝3，不等式 成立． (2)假设当 n＝k 时不等式成立，即 (1＋1)1＋12…1＋21k≤61－21k， 那么当 n＝k＋1 时，