对数的运算性质1．例题分析：例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xyz ； （2）log a解：（1）log a xyzlog ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-；例2．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）．解：（1）原式7522log 4log 2+227log 45log 2725119+=⨯+⨯=； （2）原式=2122lg10lg10555== 例3．计算：（1）14-21g18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 37lg214lg -+-2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；解法二：18lg 7lg 37lg214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)37(714lg2⨯⨯lg10==；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。

（2）253lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+=11332223(lg32lg 21)lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg10+-+-==⨯+-． 例4．已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。

分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将 1.44进行恰当变形：22121.44 1.2(3210)-==⨯⨯，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。

解：2212lg1.44lg1.2lg(3210)-==⨯⨯2(lg32lg 21)=+- 2(0.477120.30101)0.1582=+⨯-=． 说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。

（2）log alog (log a a x =-2log log log a a a x =+112log log log 23a a a x y z =+-．例5．已知log log a a x c b =+，求x ．分析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式。

解：（法一）由对数定义可知：bc a ax +=log log a c b b a a c a =⋅=⋅．（法二）由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log ，由对数定义知：b a cx=，∴ b x c a =⋅． （法三）log b a b a =，∴log log log b a a a x c a =+log b a c a =⋅，∴ b x c a =⋅．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。

1．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a MM N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈．证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 pM a =，qN a =， ∴pqp qMN a a a+=⋅=，∴log ()a MN =p q +，即证得log log log a a a MN M N =+．练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ； （3）注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的，)(log )(log 1021010210-=-是不成立的；（4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N log M log )N M (log a a a ±≠±，试举反例。

例6．（1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3． 解：（1）∵32a=，∴3log 2a =， ∴ 3 4 - 3 6 = 112log 32log 33-=-=a ． （2）∵35b =， ∴3log 5b =，（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 pM a =， ∴n npM a =，∴log na M np =，即证得log log na a M n M =．又∵3log 2a =，∴30log 3=()31log 2352⨯⨯()33311log 2log 3log 5(1)22a b =++=++． 换底公式1．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则xa N =，两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =，从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m a log log log =．说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a ；（2） lg lg log log lg lg m n na ma b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35-； （2）492log 3log 2log ⋅+．解：（1）原式 =0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例2．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 1218log 1818， ∴18log 21a =-， 又∵185b=， ∴18log 5b =， ∴aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836．例3．设1643>===t zy x ，求证：yx z 2111=-． 证明：∵1643>===t zy x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．解：∵8log 3p =， ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ，又∵ q ==3lg 5lg 5log 3，∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ， ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pq pq3135lg +=．例5．计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．解：原式23254312223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++- 45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++= 254545452log 233log 6532=+=+⋅=． 例6．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m ． 解：由题意可得：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ， ∴3lg 21lg =m ，∴3=m ． 对数函数例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。

解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。

例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

解：（1）125xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴115()log (2)f x x -=+ (-2)x >；（2） 211-22x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭∴-1()f x = 5(2)2x <<．例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 8.5；（2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数，于是0.3log 1.8>0.3log 2.7；（3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数，于是log 5.1a <log 5.9a ，当1o a <<时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，于是log 5.1a >log 5.9a ．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3． 解：（1）∵66log 7log 61>=， 77log 6log 71<=，∴6log 7>7log 6； （2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8． （3）∵0.901.11.11>=， 1.1 1.1log 0.9log 10<=， 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=， ∴0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9．（4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3． 例6．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。