第五章 时变电磁场5-1 如图5-1所示，一个宽为a 、长为b 的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为B e =B t y 0sin ω。

导体框静止时其法线方向e n 与y e 呈α角。

求导体框静止时或以角速度ω绕x 轴旋转（假定t =0时刻，α=0）时的感应电动势。

解 由于 y t B e B ωsin 0=，据 ⎰⎰⋅∂∂-=ste s Bd ， 导体框静止时，t B ab ab tBe ωωααcos cos cos 0-=⋅∂∂-= 导体框旋转时，()()tabB t ab B t ab t B tt ab B t t e ωωωωωωω2cos 2cos 221cos sin cos d 000s -=⨯⨯-=⋅∂∂-=⋅∂∂-=⋅∂∂-=⎰⎰s B5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z 轴分量，并沿y 轴按B B y t B t ky z ==-(,)cos()m ω的规律分布。

现有一匝数为N 的线圈平行于xoy 平面，以速度v 沿y 轴方向移动（假定t =0时刻，线圈几何中心处y =0）。

求线圈中的感应电动势。

解 据 ()⎰⋅⨯=le l B v d 设 2,221avt y a vt y +=-=，则有 ()()[]()kvt vB Nb a vt k a vt k vB Nb y B y B v Nb e m m sin 2cos 2cos 2211⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+⋅=5-3 一半径为a 的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速度ω旋转，其轴线与磁场平行。

在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。

这一装置称为法拉第发电机。

试证明两电刷之间的电压为22Ba ω。

解 由于td d αω=，αωd d =t ，t ωα=，ωr v = 则有 ()⎰⎰=⋅=⋅⨯=a lBa r B r e 022d d ωωl B v5-4 设平板电容器极板间的距离为d ，介质的介电常数为ε0，极板间接交流电源，电压为u U t =m sin ω。

求极板间任意点的位移电流密度。

解 对于平板电容器，极间电场为均匀场，则有 t d U E m ωsin =，t dU E D m ωεεsin 0==，t d U e D J mD ωωεcos 0=∂∂= 5-5 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为cm 11=r 、cm 42=r ，长度m 5.0=l ，极板间介质的介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为t u π=100sin 26000 V 。

求t =10. s 时极板间任意点的位移电流密度。

解 对于同轴圆柱形电容器，由于l r <<，则极间电场强度和电压分别为r E πετ2=，12ln 2r r u πετ=，因此4ln ln 212u r r u ==πετ，r u E 14ln ⋅=，r u D 14ln 40⋅=ε，r t t D 14ln 100cos 1002600040⋅⨯⨯=∂∂=ππεJ ()250A/m 1081.64ln 100260004s 1r r rr t e e J -⨯=⋅⨯⨯==πε5-6 当一个点电荷以角速度ω作半径为R 的圆周运动时，求圆心处位移电流密度的表达式。

解 在圆心处，电位移矢量3244Rq R q r ππRe D ==，由于 αωe v r r t ==∂∂，则可得圆心处位移电流为 ()y x D t t R q R q R R q t R q t J e e e e R D ωωπωωπωππααcos sin 44442233-=⋅=⋅=∂∂⋅=∂∂= 5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的的介电常数为ε、电导率为γ，在内、外导体间加低频电压u U t =m cos ω。

求内、外导体间的全电流。

解 对于球形电容器，极间电场强度为 24r qE πε=， 电压 abab q b a q u --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=πεπε4114，则有r a b uab E 1⋅-=，21r a b uab D ⋅-=ε 因此，传导电流密度 221cos 1r t a b ab U r a b uab E J m c ⋅⋅-=⋅-==ωγγγ 位移电流密度 21sin r t U a b ab t D J m D ⋅⋅⋅--=∂∂=ωωε 全电流密度 ()20sin cos rt t a b ab U m r J ⋅--=ωεωωγ 全电流 ()t t r ab abU J r I m ωεωωππsin cos 442--=⋅= 5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压u U t =m sin ω，设极间距离为d ，极间绝缘材料的介电常数为ε，试求极板间的磁场强度。

解 圆形平行平板电容器极间的电场强度、电位移矢量及位移电流密度均为均匀场，即t d Ud u E m ωsin ==，t dU E D m ωεεsin ==，t d U t D J m D ωωεcos =∂∂= 据安培环路定律，可得 D J r r H 22ππ=，则 αωωεe H r d tU r J mD 2cos 2⋅== 5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为εr =81、电导率为γ=42. S /m 。

分别求频率f 11=kHz 、f 21=MHz 、以及f 31=GHz 时位移电流密度和传导电流密度的比值。

解 据 f f J J c 9121007.12.421085.881--⨯=⨯⨯⨯==πγεωα，可得f 11=kHz 时，61007.1-⨯=cD J J；f 21=MHz 时，31007.1-⨯=c D J J ；f 31=GHz 时，07.1=cD J J5-10一矩形线圈在均匀磁场中转动，转轴与磁场方向垂直，转速min /r 3000=n 。

线圈的匝数100=N ，线圈的边长cm 2=a 、cm 5.2=b 。

磁感应强度B =01. T 。

计算线圈中的感应电动势。

解 转速 r/sec 50r/sec 603000r/min 3000===n ，角频率 rad/sec 100πω= 线圈截面 ab S =，磁通 t ab B ωφcos ⋅⋅=，磁链 t NBab N ωφψcos ⋅==线圈中的感应电动势t t t NBab te ωωπωψsin 57.1sin 250025.002.01.0100sin d d =⨯⨯⨯⨯⨯==-= V 11.1=有效值e5-11图5-4所示的一对平行长线中有电流i t I t ()sin =m ω。

求矩形线框中的感应电动势。

解 如图建立坐标系，则线框中任意点的磁感应强度为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-+-=a b r r a b i r i a b r i B πμπμπμ222 元磁通 r Bh d d =φ，则线圈所链绕的磁通zzc b b c b b a a c t b c b a b b a b c b i e e ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+==⎰+ln 2ln ln 2d πμπμφφ线圈的感应电动势()()t c b a a c b h I t d e m ωπμωφcos ln 2d ++⋅-=-= 5-11 一根导线密绕成一个圆环，共100匝，圆环的半径为5cm ，如图5-5所示。

当圆环绕其垂直于地面的直径以500 r /min 的转速旋转时，测得导线的端电压为mV 5.1（有效值），求地磁场磁感应强度的水平分量。

解 转速 r/s 60500r/min 500==n ，角频率 rad/s 605002⨯=πω， 线圈截面 222m 00785.005.0=⨯==ππr S通过线圈的磁通量 t BS ωφcos =，相应的磁链 t NBS N ωφψcos ==，则线圈的电动势为 t NBS te ωωψsin d d =-=， 电动势的有效值 V 105.1260500205.0100232-⨯=⨯⨯⨯⨯==B NBS e ππω有效值因此，所求地磁 T 1016.5500205.010*******.1523--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=ππB 5-13 真空中磁场强度的表达式为()x t H H z z z β-ω==sin 0e e H ，求空间的位移电流密度和电场强度。

解 据磁场强度表达式，可得电场强度 ()x e E y βω-=sin 0e E ，又00ωεβεμ==HE，则 y x t H e E )sin(00βωωεβ-=，()y x t H e D βωωβ-=sin 0 位意电流密度 ()()y y D x t H x t H t e e D J βωββωωωβ-=-=∂∂=cos cos 005-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为J e D x t z =-25sin()ωμ A /m 2，介质的介电常数为ε0，磁导率为μ0。

求介质中的电场强度E 和磁场强度H 。

解 据位移电流表达式，可得 ()2A/m 5sin 2μz t tx e D-=∂∂ω 则可得电位移矢量 ()x z e e D 5cos 2--=ωω，电场强度 ()x z e e DE 5cos 2--==ωωεε磁场强度 ()()A/m 5cos 525cos 0μωωβωεy x z t z e E e e H --=--=5-15 由两个大平行平板组成电极，极间介质为空气，两极之间电压恒定。

当两极板以恒定速度v 沿极板所在平面的法线方向相互靠近时，求极板间的位移电流密度。

解 设两极板间的初始距离为0x ，在时刻t ，极板间的距离为x ，则vt x x -=0， 极间电场强度 x UE =，电位移矢量 vtx U x U D -==000εε 因此，位移电流密度 xvt x vU t e D J ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂=200)(ε 第六章 电磁场能量6-1 一个空气介质的电容器，若保持极板间电压不变，向电容器的极板间注满介电常数为εε=40的油，问注油前后电容器中的能量密度将如何改变？若保持电荷不变，注油前后电容器中的能量密度又将如何改变？解 平行极板间电场强度和电位移矢量分别为 d UE =，d U D ε= 当极板间电压不变时，空气介质中电场能量密度 02202121ε⋅⋅==dU ED w注油后电场能量密度 00224421w dU w =⋅⋅=ε当极板上电荷不变时，极板上的电荷面密度SQ =σ ，则电场强度 εσ=E ，电位移矢量 σ=D ，空气介质中电场能量密度0202121εσ⋅=⋅=ED w 注油后电场能量密度 00225.042w w =⨯⨯=εσ6-2 内、外两个半径分别为a 、b 的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为ε0，当内、外电极上的电荷分别为q ±时，求电容器内储存的静电场能量。