第十三章概率与统计本章知识结构图第一节概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。

2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率计算公式。

4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。

5.了解几何概型的意义。

命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。

2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。

知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件 A 发生次，测得 A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做 A 的概率，记作。

对于必然事件 A，；对于不可能事件 A，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。

四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同P (A)=A包含基本事件数= card (A)基本事件总数card (Ω)2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集 A，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A.P(A)= A 。

Ω五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。

事件 A 与事件 B 互斥，则P (A B)=P (A)+P (B)。

2、对立事件事件 A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件 A,B 对立，记作B =A 或A =B 。

P (A)= 1-p (A)。

3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件 A，B 对立”是”事件 A，B 互斥“的充分不必要条件。

题型归纳及思路提示题型176 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件 A 所包含的基本事件数；最后计算P (A)=A包含基本事件数基本事件总数。

例13.1 设平面向量a m=(m,1)，b n=(2, n)，其中m, n ∈{1.2, 3, 4}(m, n)的所有可能结果；（1）请列出有序数组（2）若“使得a m⊥(a m-b n)成立的(m, n)为事件 A，求事件 A 发生的概率。

分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上(m, n)的16 个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。

解析：（1）由m, n ∈{1.2, 3, 4}，有序数组(m, n)的所有可能结果为(1,1)，(1, 2), (1, 3), (1, 4)，(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)，(3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)，(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) 共16 个。

（2）因为a m=(m,1)，b n=(2, n)，所以a m-b n=(m - 2,1-n).又a m⊥(a m-b n)，得(m,1)⋅(m -2,1-n)=0，即m2- 2m +1-n = 0，所以n=(m-1)2。

故事件A 包含的6 3 3 2 3 3 2 3 3 4基本事件有(2,1) 和(3, 4) ，共 2 个，由古典概型概率计算公式得 P ( A ) = 2 = 1 。

16 8评注：①解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法，注意在列举时， 必须按照某一顺序来列举；②本题以向量为载体，利用向量的运算和关系等向量的基本知识解决概率问题，是将两类知识结合得较好的一道题目。

变式 1 电子钟一天显示的时间从 00：00 ~ 23：59，每一时间都由 4 个数字组成，则一天中任取一时刻显示的 4 个数字之和为 23 的概率为（ ） 1111A.B.C.D.180288360 480 变式 2 连抛两次骰子的点数分别为 m , n ，记向量 a = (m , n ) ，向量 = (1, -1) ， a 与 的b b夹角为，则∈⎛ 0,⎤的概率是（ ）2⎥⎝ ⎦5 1 75 A.B. C.D.122126例 13.2 （2012 重庆理 15）某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文，数学，外语三门文化课和其它三门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 （用数字作答）。

解析： 6 节课随机安排，共有 A 6 = 720 种不同的方法。

课表上相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课，有以下三种情况：①三门文化课间有 2 节艺术课：有 A 3 A 2 A 1 = 72 种方法；②三门文化课间有 1 节艺术课：有 A 3C 1 A 1 A 3 = 216 种方法；③三门文化课间有 0 节艺术课：有 A 3 A 4 = 144 种方法。

共有 72+216+144=432 种符合题意的安排方法， 故所求概率为 432 3 P = = 。

720 5变式 1 （2012 上海理 11）三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。

变式 2 甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定：各自独立地从 1 到 6 号景点中 任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） 1 1 5 1 A.B.C.D.369366变式 3 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号 1，2，3，…，18 的 18 名火炬手，若从中 任选 3 人，则选出的 3 名火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为（ ） 1 1 1 1 A.B.C.D.51683064082 题型 177 几何概型的计算思路提示首先确定事件类型为几何概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的数值和事件 A 包含区域数值 ，最后计算P (A)= A 事件区域数值（长度、面积、体积或时间）基本事件区域数值（长度、面积、体积或时间），解几何概型问题的关键是画图、求面积。

例 13.3 （2012 辽宁理 10）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C ，现作一矩形，邻边长分 别为线段 AC,CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm 2 的概率为（ ）1 12 4 A.B.C.D.6335解析： 设 AC = x ，则CB = 12 - x ，且0 < x < 12 ，所以 x (12 - x ) 表示矩形的面积，令x (12 - x ) ≤ 32 ，解得： x < 4 或 x > 8 ，如图 13-1 所示，4 + 4 2故所示的概率为 P = = 12 3.故选C .变式 1A = [2, l og t]， B = {x x 2 -14x + 24 ≤ 0} ， x , t ∈ R ， A ⊆ B . （1） 定义区间[a , b ] 的长度为b - a ， A 的长度为 3，则t =.（2） 某函数 f ( x ) 的值域为 B ，且 f ( x )∈A的概率不小于0.6 ，则t 的取值范围为.例 13.4 （2012 福建理 6）如图 13-2 所示，在边长为1 点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）的正方形OABC 中任取一点 P ，则A. 141 1 1 B.C.D.5671解析：由题意可知，阴影部分的面积是由函数 y = x , y = x 围成的几何图形的面积，利用 S= xdx -xdx =2x 3 1- 1 x 2 1 = 1S =1定积分可知：阴影 ⎰20 32，又 正方形OABC6所以由几何概型知，所求的概率为 P = 16.故选C .评注：利用线性规划和积分知识求面积，是解决相关的几何概型问题的常见方法.变式 1 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到 11圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；否则，24在家看书，则小波周末不在家看书的概率为.变式 2 （2012 北京石景山一模理 13）如图 13-3 所示，圆 O ： x 2 + y 2 =2内正弦曲线y= sin x 与 x 轴围成的区域记为 M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点 A ，则该点 A 落在区域 M 内的概率是.变式 3 （2012 湖北理 8）如图 13-4 所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ， OB为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 1- 2B. 1 - 12C. 21D.例 13.5 已知 f (x ) = -x 2 + ax - b , a , b ∈[0, 4] , a , b ∈ R ，则 f (1) > 0 的概率为 .1⎰0≤b ≤4 ⎩ ⎨ 解析 几何概型Ω：{0≤a ≤4, A ⊆ Ω且- 1+a - b > 0, 作出Ω ， A 的区域图（如图 13-5 所示）.9= 4 ⨯ 4 = 16 , = 1 ⨯ 3⨯ 3 = 9,则 P ( A ) =A= 2 = 9. ΩA 2 216 32Ω变式 1 A = {x -1 ≤ x ≤ 0} ， B = {x | ax + b ⋅ 2x -1 < 0, 0 ≤ a ≤ 2,1 ≤ b ≤ 3 }（1） a , b ∈ N ，求 A ⋂ B ≠ ∅ 的概率；（2） a , b ∈ R ，求 A ⋂ B =∅ 的概率.例 13.6 甲乙两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的， 求两人在约定时间内能相见的概率。

分析 由题意知，当甲乙两人到达目的地的时间相差小于或等于 40 分钟时两人便能在约定时间内相见。

解析 设甲乙两人分别于 x 时和 y 时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当2 2且仅当- ≤ x - y ≤ 3 3.记 20：00 为 0 时，21：00 为 1 时，两人到达约见地点的所有可能时刻( x , y ) ⎧0 ≤ x ≤ 1满足⎨0 < y ≤ 1，结果可用如图 13-6 所示的单位正方形（包括边界）内的点来⎧x - y ≤ 2 表示，两人能在约定时间内相见的时刻 ( x , y ) 的所有可能满足 ⎪ 3⎪ y - x ≤ 2⎩ 3， 可用 如图 13-6 所示的阴影部分（包括边界）来表示。