数值计算方法 5插值法
n (x xj ) j0 (xi x j )
ji
且满足 li (x j ) ij i, j 0,1, , n
➢拉格朗日插值公式
Ln (x)
y0l0 (x) y1l1 (x)
ynln (x)
n i0
yili (x)
n i0
yi
n j 0
(x xj ) (xi x j )
(x (x2
x0 )(x x1 ) x0 )(x2 x1 )
其几何意义是明显的。
5.2.2 拉格朗日二次(抛物)插值L2(x)
➢拉格朗日抛物插值公式
由抛物插值基函数的性质和插值函数的唯一性,得
2
L2 (x) yili (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x) i0
拉格朗日插值函数均可表示为一组基函数与函数值的线性组 合,这些基函数与被插函数无关,只需用插值基点有来构造。
5.2.1 拉格朗日线性插值L1(x) ➢线性插值及几何意义
n=1时的n次多项式L1(x) 称为线性插值。此时,有两个互异的 插值基点:x0,x1,插值条件为: L1(x0)=y0, L1(x1)=y1 。
要求基函数 l0(x),l1(X),l2(x)均为2次多项式,
且满足:
li (x j ) ij i, j 0,1,2
不难得到:
l0 (x)
(x ( x0
x1 )(x x2 ) x1 )(x0 x2 )
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
l2 (x)
定义5-3
设H
是
n
不超过n次的多项式的全体的集合,
0
(
x)
,1
(
x),
,n (x)
是H n中n
1个线性无关的多项式,则0 (x),1 (x),
,
n
(
x)是H
的
n
一组基函数。
注意:基函数是不唯一的;
n
H n中的任一多项式pn (x)均可由基函数唯一表示,即pn (x) kii (x) i0
➢定理5-1 (插值函数的存在唯一性定理)
5 插值法 ( Interpolation method )
➢本章主要内容
5.1 函数插值的基本问题 5.2 拉格朗日插值法 5.3 牛顿插值法 5.4 埃尔米特插值法
插值法更多的
是作为其它数 值方法的基础
5.5 分段低次插值
5.6 三次样条插值
5.7 二元函数插值方法
➢重点:各种插值算法的思路及插值公式的构造
分段低次插值法
5.1.2 插值函数的存在唯一性问题
➢基函数
定义5-2
设0 (x),1(x), ,n (x)在[a,b]上连续,如果x [a,b] k00 (x) k11(x) knn (x) 0
当且仅当 k0 k1 kn 0 时成立,则称 0 (x),1(x), ,n (x)在[a,b]上是线性无关的。 如,0 (x) 1,1(x) x, ,n (x) xn在[,]上是线性无关的, 0 (x) 1,1(x) 1 x,2 (x) 2x2 x在[,]上也是线性无关的。
在n+1个互异基点处满足插值条件且次数不超过n次的多项式
pn(x)是存在唯一的。
证明:待定系数法,系数矩阵是n+1阶范德蒙行列式, 由于插值基点互异,行列式不为零,系数存在且唯一。
注意:次数不超过n次必不可少,否则,唯一性不保证;
定理表明:插值函数与插值方法无关
例5-1 p88
5.2 拉格朗日(Lagrang)插值----Ln(x)
➢难点:各种插值算法误差估计,样条插值
5.1 函数插值的基本问题
5.1.1 函数插值问题 ➢函数插值的必要性
使复杂函数简单化 使无解析式的函数(离散型、图形图像)获得解析式 为其他数值方法提供支持手段(如数值积分、微分)
➢插值问题
定义5-1
5.1 函数插值的基本问题
5.1.1 函数插值问题 ➢代数多项式插值问题
1 8
(
x1
x0 )2
Max
x0 xx1
f (x)
例5-2 已知sin30o=0.5,sin45o=0.707107,求sin50o的近似值。
5.2.2 拉格朗日二次(抛物)插值L2(x)
➢抛物插值及几何意义
插值基点:x0,x1,x2(互异) 插值函数:二次多项式(抛物线)
插值条件:L2(xi)=yi, i=0,1,2. ➢抛物插值基函数及几何意义
➢拉格朗日抛物插值公式的截断误差
R2 (x)
f (x) L2 (x)
f
( 3!
)
(
x
x0
)(x
x1
)(x
x2
)
例5-3 已知sin30o=0.5,sin45o=0.707107, sin60o=866025, 用抛物插值法求sin50o的近似值。
例 利用9,16,25的平方根求17和5的平方根的近似值。 注意:外插与内插的误差比较。
5.2.3 n次拉格朗日插值
➢问题描述
插值基点:x0,x1,…,xn(n+1个点互异) 插值函数:不超过n次的多项式
插值条件:Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
➢基函数
li (x)
(x x0 ) (x xi1 )(x xi1 ) (x xn ) (xi x0 ) (xi xi1 )(xi xi1 ) (xi xn )
由于多项式有其优良的特性,所以通常都是用多项式作为 插值函数。还有其它类型的插值函数,如有理函数插值、 三角函数插值等
➢函数插值涉及的基本问题
插值函数的存在唯一性问题
插值函数的构造问题
截断误差估计与收敛性问题
➢ 代数多项式插值函数的构造方法
拉格朗日插值法 埃尔米特插值法
牛顿插值法
样条函数插值法
其几何意义就是用过点(x0,y0)和(x1,y1)的直线y=L1(x)代替y=f(x)。
➢拉格朗日线性插值函数L1(x)
由两点式直线公式,整理可得
L1 (x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
5.2.1 拉格朗日线性插值L1(x)
➢线性插值基函数及几何意义
称l0 (x)
x x1 x0 x1
, l1 (x)
x x0 x1 x0
线性拉格朗日插值基函数。
它们都是线性函数,且具有性质: li (x j ) ij i, j 0,1
其几何意义见图示。
➢插值余项 f ()
R1(x) f (x) L1(x) 2 (x x0 )(x x1)
留给读者自己证明:
R1(x)
f
(x)
L1 ( x)