SVBCD 18
时，求AN和PM的长； (3)如图③，过点N作NH⊥BD于H， 当AM＝2时，求△HMN的面积．
例题图
题型八 几何探究题
(1)【思维教练】要证MA＝MN，可构造三角形，通过证明三角形全等进而得到
对应线段相等；
(1)证明：如解图①，过点M作MF⊥AB于F， ∴∠AMF＝∠NMG，
作MG⊥BC于G，
题型八 几何探究题
典例精讲
例 (2019包头)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点 (0<DM< 1 BD)，连接AM，过点M作MN⊥AM交边BC于N.
2
(1)如图①，求证：MA＝MN； (2)如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当 SVAMN 13
∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，
∴OM＝AO＝ON＝12AN＝ 13， ∴PM⊥AN，∴∠AOP＝∠ABN＝90°，
又∵∠PAO＝∠NAB，∴△AOP∽△ABN，
∴OP＝AO，∴OP＝ 13， BN AB 4 6
∴OP＝2 13， 3
∴PM ＝PO＋OM ＝2
13＋ 3
13＝5 3
13.
且∠AFM＝∠NGM＝90°，
在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝AB， ∴△AMF≌△NMG，∴MA＝MN.
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，点M在BD上，
∴MF＝MG，∠FMG＝90°，
∴∠FMN＋∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，∴∠NMA＝90°， ∴∠AMF＋∠FMN＝90°，
∴∠MAN＝∠DBC，
∴Rt△AMN∽Rt△BCD，
∴ SVAMN ( AN )2，
S VBCD
BD
∵在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
例题解图②
∴BD＝6 2 ，
题型八 几何探究题
Q SVBCD ＝13， SVAMN 18
AN 2 ＝13，
2
62
18
∴AN＝2 13，∴在Rt△ABN中，BN＝ AN2－AB2＝4，
例题解图③
题型八 几何探究题
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
∴BD＝6 2， ∵AF⊥BD， ∴AF＝MH＝ 12BD＝3 2， ∵AM＝2 5，
∴MN＝2 5，
在Rt△MNH中，HN＝ MN2－HM2＝ 2，
∴S△HMN＝
1HM·H 2
N＝HMN的面积是3.
例题解图③
例题解图①
题型八 几何探究题
(2)【思维教练】要求AN的长，可通过证明△AMN∽△BCD，由面积比等于相似
比的平方求出AN的长．再通过证明△AOP∽△ABN，对应线段成比例即可求出
PM的长； (2)解：如解图②，在Rt△AMN中，
∵∠AMN＝90°，MA＝MN，∴∠MAN＝45°，
在Rt△BCD中，∵∠DBC＝45°，
例题解图②
题型八 几何探究题
(3)【思维教练】要求△HMN的面积，即要得到HM和HN的长，构造与△HMN全等 的三角形，通过对应线段相等得到MH的长，进而在△MNH中由勾股定理求得HN 的长．
(3)解：如解图③，过点A作AF⊥BD于F， ∵∠AFM＝90°，∴∠FAM＋∠AMF＝90°， ∵MN⊥AM，∴∠AMN＝90°， ∴∠AMF＋∠HMN＝90°，∴∠FAM＝∠HMN， ∵NH⊥BD，∴∠NHM＝90°，∴∠NHM＝∠AFM， ∵MA＝MN，∴△AFM≌△MHN， ∴AF＝MH，