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第七讲 费马小定理与欧拉定理
2017.12.18
基础例题
1. 设n 是自然数，则n n n n 4321|5+++/
2.设{x 1，x 2，x 3，…，()m x ϕ}为模m 的一个简化剩余系，则()()()mod 1321≡⋯m
x x x x ϕ
3. 设a ，b ，c ，m 为自然数，m >1，(b ，m )=1，且()m b a mod 1≡，
()m b c mod 1≡，记()c a d ,=，则()m b d mod 1≡
4. 设p 是素数，p |b n -1，n 为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立：
(1)p |b d -1对于某个因数d<n 成立；
(2)()n p m od 1≡
5. 将211-1=2047分解质因数
6. 将612-1分解质因数
7. 若a ，b 是任意整数，p 为素数.证明：()()p b a b a p p p
mod +≡+
8. 设p 为奇素数，a ，n 都是正整数，且p n |a p -1.
(1)证明：p n -1|a -1；
(2)当p =2时，上述结论成立吗?
10. 求(1237156+34)28被111除的余数.
11. 设p 是一个大于5的素数，求证：240|p 4-1
12. 设p 为素数.证明：存在无穷多个正整数n 使得()p n n mod 2≡
13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p 是质数，h 1，h 2，…，h n 是整数，则(h 1+h 2+…+h n )p ≡h 1p +h 2p +…+h n p (mod p )
(2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理.
每周真题小练
1. (ELMO 2017)设H 为三角形ABC 的垂心，M 为边BC 的中点.以AH 为直径的圆上，有相异的两点P ，Q (P 、Q 两点均不与A 重合)，满足M 位于直线PQ 上.证明：三角形APQ 的垂心位于三角形ABC 的外接圆上.
2.(命题人讲座) 设n 是一个大于1的奇数，数a 1，a 2，a 3，…，()n a ϕ是1，2，3，…，n 中与n 互素的所有正整数.证明()()n n k k n a ϕϕπ2
1cos
1=∏=
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