取 x 1，则 e 11 1 1 1 e (0 1)。
2! 3!
8! 9!
若e 11 1 1 1 ，
2! 3!
8!
则产生的误差为 R8 (1)
e 9!
e 9!
3 8.27106 9!
105，
故 e 11 1 1 1 2.71828.
2! 3!
8!
2．用于求某些极限
例 3．求下列极限
等等，它们顺序循环地取四个数 0，1，0，-1，
令n2m ，得
∴
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
(1)m1
x2m1 (2m1)!
R2m
(x)
，
R2m
( x)
x2m1 sin(x (2m1)!
2m1) 2
，(
0
1)
。
类似可得
c
osx
1
x2 2!
x4 4!
x6 6!
(1)m
x2m (2m)!
f
( x)
f
(x )
f
(x )(x x )
f
( x 2!
)
(
x
x
)2
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)n
f (n1) () (n 1) !
(
x
x
)n1
⑦
（ 在x 与x 之间）.
⑦式称为 f (x) 的带拉格朗日型余项的泰勒公式。
注：（1）当n 0 时，⑦式成为
f (x) f (x ) f ()( x x ) ,( 在 x 与 x 之间). 此即为拉格朗日中值公式。
R2m
(
x)
。
R2m (x)
x2m2 cos(x (2m 2)!
2m2 ) 2
，(
0
1)
。
（3） f (x) ln(1 x)
解： f (k)(x)(1)k1(k 1)!(1 x)k （k 1, 2, 3,, n1 ）， f (k)(o)(1)k1(k 1)!，（k 1, 2, 3,, n ），
∴
∴ (1 x)n 1 nx n(n1) x 2 n(n1)(n2)1 x n
2!
n!
即为二项式公式。
2.7.3 泰勒公式应用举例
1．用于近似计算
例2. 应用八阶泰勒公式计算e 的近似值，并估计误差。
解：ex 1 x x2 x3 x8 ex x9，(0 1)。
2! 3!
8! 9!
在上式中令x 0, 1 ，得
f (0)
f (c)
f (c)(0 c) 源自f(1 2)
(0
c)
2
，0
1
c
，①
f (1)
f (c)
f (c)(1 c)
f
(2 2
)
(1
c)
2
，c
2
1
，②
∵ f (0) f (1) 0 ，
∴②-①得：
f
(c)
1[ 2
f
(1)c2
f
(2)(1 c)2] ，
∴
（2）当 x 0 时，⑦式成为
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n1) () xn1
2!
n!
(n1)!
（ 在 0 与 x 之间 ）
此公式称为 f (x) 的麦克劳林（Maclaurin ）公式。
（3）若 f (n1) (x) 在(a,b) 内有界，则当 f (x) Pn (x) 时，
x0
2 (cos
x
e
x2
)
s
in
x
2
lim
x0
8 x2[ 3x2
o(x2 )]
2
lim
x0
1 x4 o(x4) 8 3 x4 o(x4) 2
lim
x0
1 8
o(x4 x4
)
3 2
o(x4 x4
)
1 12
。
3．用于证明等式或证明不等式
带拉格朗日余项的泰勒公式常来用证明与中间 值相联的不等式，其关键是注意泰勒公式中展开 点 x 的 选择，通常选已知区间的端点，中间点或 函数的极值点和导数为零的点。这类题的特点是 已知函数可导的阶数较高（二阶以上），同时还有 若干个已知函数值或导数值。
f (k) (0) ( 1)( 2)( k 1) ， （k 1, 2, 3,, n ），
∴ (1 x) 1x (1) x2 (1)(2)(n1) xn
2!
n!
( 1)( (n1)!(1
2)( x) n1
n)
xn1 ，（0
1
）。
特别地，当 n ，nN 时，
∵ f (n1) (x) 0 ，∴ Rn (x) 0 ，
；
皮亚诺型余项是：Rn(x)o(xn) ；
拉格朗日型余项是： Rn (x)
f (n1) () xn1 ( 在 0 与 x (n 1)!
之间).
或 Rn (x)
f (n1) (x) xn1 (0 1 ). (n1)!
例 1．求下列函数的 n 阶 麦克劳林公式。
（1） f (x) e x
解：∵ f (k) (x) ex ， ( k 0, 1, 2, , n 1) ，
(x )(x )(n) (x )0 ，
对 Rn (x)与(x) 在以x 及 x 为端点的区间上应用柯西 定理，得
Rn (x) Rn (x) Rn (x ) Rn (1) (x) (x)(x ) (1)
（ 1 在 x 与 x 之间）
再对 Rn (x) 与(x) 在以 x 及 1 为端点的区间上 应用柯西定理，得
f (c)
1 2
f (1)c2
f (2 )(1 c)2
1[ 2
f (1)c2
f (2)(1 c)2 ]
1[ 2
f (1) c2
f (2) (1 c)2]
A [c2 (1 c)2] A .
2
2
例 5．设在(a,b) 内， f (x) 0 ，证明：x1, x2 (a,b) ，
例 4．设 f (x) 在[0,1] 上二阶可导，且 f (0) f (1) 0 ，
f (x) A ，试证： f (c) A ，c [0,1] 。 2
证明：设c [0,1] ， f (x) 在x c 的一阶泰勒公式为
f (x) f (c) f (c)(x c) f () (x c)2 ， 在 x 与 c 之间 。 2!
2
高阶无穷小之间的运算
（1）o(xm )o(xn ) o(xm ) （m n ）； （2）o(xm ).o(xn ) o(xmn ) ； （3） xm.o(xn ) o(xmn ) ； （4）ko(xn ) o(xn ) 。
x2 1 1 x2
（2）
lim
x0
2 (cos
x
e
x2
)
sin
x2
解： x2 1 1 x2 x2 1[1 x2 x4 o(x4 )]
Rn (x)
f
( x) [
f
(x )
f
(x )( x x )
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)n
],
Rn (x) 称为余项。
Rn(x) f (x) Pn(x) 在(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数，且
Rn (x ) 0 ，Rn (x ) 0 ，Rn(x ) 0 ，…， Rn(n) (x ) 0 。
其误差的估计式为
Rn (x)
f
(n1) () (n 1)!
(
x
x
)
n1
M (n 1)!
x x
n1 ，
其中 M max f (n1) (x) 。
x(a, b)
2.7.2 几个初等函数的麦克劳林公式
函数 f (x) 的麦克劳林公式是：
f
( x)
f
(0)
f
(0) x
f
(n) (0) n!
xn Rn (x)
∴ f (k) (0) 1， ( k 0, 1, 2, , n ) ，
故 ex 1 x x2 x3 xn e x xn1(0 1)
2! 3!
n ! (n 1) !
（2） f (x) sin x
∵ f (n) (x) sin(x n ) ， 2
∴ f (0) 0 ， f (0) 1 ， f (0) 0 ， f (0) 1， f (4) (0) 0 ，
f
( x 2!
)
(
x
x
)
2
f
(
n) (x n!
)
(
x
x
)n
o((
x
x
)n
)
⑤
称 ⑤式为带皮亚诺型余项的泰勒公式。
皮亚诺型余项只给出了余项的定性的描述，因此无法进
行定量的估计，在实际计算中必须知道误差的数量，即在
x x 给定的情况下，误差有多大，这就需要其他形式的
泰勒公式余项。下面来推导较常用的拉格朗日型余项：
2
2
28
x4 o(x4 ) ，
8
cos xe x2
[1
x2
o( x 2
)][1 x2
o(x2 )]
2
3x2 o(x2 ) ， 2
注意：有限个 o(x k )(k 0) 的代数和仍为o(xk ) 。
不要犯o(xk )o(xk ) 0 这样的错误。
x2 1 1 x2
x4 o(x4)