作点估计；
0 、 1 作假设检验； 2、对回归系数
3、在 x=x 0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
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二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值， （x1 ，y1 ） ， （x2 ，y2 ） ，…， （xn ，yn ）
y i 0 x1 i , i 1,2,...,n 设 2 E 0 , D 且 1 2， ..., n 相互独立 i i
记
Q Q ( 0 , 1 ) y i 0 1 xi
i 1 2 i i 1
n
n
2
最小二乘法就是选择
0
ˆ 0 1 的估计 和
0 , 1
ˆ ，1 使得
ˆ , ˆ ) min Q ( , ) Q( 0 1 0 1
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2 的无偏估计为 ˆ e2 Qe ( n 2)
2 2 ˆ ˆ ˆ 0 称 e 为剩余方差（残差的方差） ， e 分别与
1 、
ˆ
ห้องสมุดไป่ตู้
独立 。
ˆ e 称为剩余标准差.
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三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验
对回归方程 Y 0 1 x 的显著性检验，归结为对假设
( xi x )
当|r|> r1-α 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
其中 r1
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1 1 n 2 F1 1, n 2
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2、回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α 的置信区间分别为
2 2 1 x 1 x ˆ t (n 2) ˆ t (n 2) ˆe ˆe , 0 0 1 1 n Lxx n Lxx 2 2
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.
102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 140 145 150 155 160 165
解答
y 0 1 x
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散点图
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一般地，称由 y 0 1 x 确定的模型为一元线性回归模型， 记为
ˆ ˆ ˆ e / L xx , 1 t (n 2) ˆ e / L xx 和 1 t ( n 2) 1 1 2 2
的置信区间为 2 的置信水平为 1 Qe Qe , 2 ( n 2) 2 ( n 2) 1 2 2
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检 验 、 预 测 与 控 制
性可 回线 归性 （化 曲的 线一 回元 归非 ）线
数 学 模 型 及 定 义
模 型 参 数 估 计
检 验多 与元 预线 测性 回 归 中 的
逐 步 回 归 分 析
3
一、数学模型
例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：
身高 腿长
143 88 145 85 146 88 147 91 149 92 150 93 153 93 154 95 155 96 156 98 157 97 158 96 159 98 160 99 162 100 164 102
（经验）回归方程为:
ˆ ˆ x y ˆ (x x) ˆ y 0 1 1
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2、 2 的无偏估计
ˆ , ˆ ) 记 Qe Q ( 0 1
y
n i 1
i
ˆ ˆx 0 1 i
(y
2 n i 1
i
ˆi )2 y
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
y 0 1 x 2 E 0 , D
固定的未知参数
0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量. Y 0 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程.
一元线性回归分析的主要任务是：
0 1、用试验值（样本值）对
1 和 、
H 0 : 1 0; H 1 : 1 0
进行检验.
假设 H 0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
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（Ⅰ）F检验法
当H 0 成立时， 其中 U 故 F>
n
U F ~F（1，n-2） Qe /(n 2)
2 ˆ y y （回归平方和） i i 1
F1 (1, n 2) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H0
.
（Ⅱ）t检验法
当H 0 成立时，T
ˆ Lxx 1 ~t（n-2） ˆ e
数学建模与数学实验
回归分析
后勤工程学院数学教研室
2018/10/7 1
实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。
2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。
3、实验作业。
回归分析
一元线性回归 多元线性回归
* 模 型 参 数 估 计
*
*
*
数 学 模 型 及 定 义
6
解得
ˆ y ˆx 0 1 ˆ xy x y 1 2 x x2
ˆ 或 1
x
i 1 n
n
i
x yi y
2 x x i i 1
n i 1 n i 1 n i 1 n i 1 其中 x xi , y yi ， x 2 xi , xy xi yi . 1 n 1 n 1 n 2 1 n
.
H 0 ，否则就接受 H0 故 T t1 ( n 2) ，拒绝
2
其中Lxx ( xi x ) xi2 nx 2
2
n
n
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i 1
i 1
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（Ⅲ）r检验法
记
r
(x
i 1 n i 1
n
i
x )( y i y )
2 2 ( y y ) i i 1 n