绝密★启用前 试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P •=•．用最小二乘法求线性同归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的． 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N =A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{}11x x -<<D ．∅2．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A ．2B ．21C ．21-D ．-23．若函数21()sin (),()2f x x x f x =-∈R 则是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发．经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A ．B ．C ．D ．5．已知数{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k=A ．9B ．8C ．7D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．i<6B ． i<7C ． i<8D ． i<97．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A ．15B ．16C ．17D ．18 8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是 A ．（a*b ）*a=a B ．［a*(b*a)］*(a*b)=a C ．b*(b*b)=b D ．(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球． 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10． 若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120，则a a ＋=a b ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条．这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 图4 ; )(n f ＝ ．（答案用数字或n 的解析式表示）13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3()3x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R 参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 ．图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、．（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围．17．(本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生 产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 56y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bx a =+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=） 18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O ．椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程．（2）试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点．点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ．现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ．记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积．（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20．（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'，(1,2,)n =．（1）求α、β的值；（2）证明：任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln n n n a b a βα-=-，(1,2,)n =，求数列{n b }的前n 项和n S ．2007年普通高等学校全国招生统一考试 （广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题9．19 10．12 11．54x =- 12．()12n n +，()()122n n n --13．（0，2）， 14．6，[]1,1- 15．30，3三、解答题16．解：（1）∵()3,4A ，()0,0B ， ∴5AB =，4sin 5B =． 当5c =时，5BC =，AC ==根据正弦定理，得sin sin BC ACA B=， ∴sin 5A =． （2）∵()3,4A ，()0,0B ，(),0C c ， ∴5AB =，AC =，BC c =．根据余弦定理，得222cos 2AB AC BCA AB AC+-=．若A ∠为钝角，则cos 0A <，即2220AB AC BC +-<，即()22225340c c ⎡⎤+-+-<⎣⎦，解得253c >．17．解：（1）如下图（2）y x i ni i ∑=1＝3⨯2.5＋4⨯3＋5⨯4＋6⨯4.5＝66.5，x ＝46543+++＝4.5，y ＝2.534 4.54+++＝3.5，222221345686ni ix ==+++=∑，b ＝266.54 4.5 3.50.7864 4.5-⨯⨯=-⨯， a ＝3.5－0.7⨯4.5＝0.35．故线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35．（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7⨯100＋0.35＝70.35，故耗能减少了90－70.35＝19.65（吨）18．解：（1）设圆心坐标为（m ，n ）（m <0，n >0），则该圆的方程为()()228x m y n -+-=，已知该圆与直线y ＝x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -＝22．即n m -＝4 ① 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入，得m 2＋n 2＝8． ② 联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m ，故圆的方程为()()22228x y ++-=． （2）a ＝5，∴a 2＝25，则椭圆的方程为221259x y +=． 其焦距c ＝925-＝4，右焦点为（4，0），那么OF ＝4．要探求是否存在异于原点的点Q ，使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F 为顶点，半径为4的圆()2248x y -+=与（1）所求的圆的交点数．通过联立两圆的方程解得x ＝54，y ＝512． 即存在异于原点的点Q （54，512），使得该点到右焦点F 的距离等于OF 的长．19．解：（1）∵EF AB ⊥，∴EF PE ⊥．又∵PE AE ⊥，EF AE E =，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE ．∵EF AB ⊥，CD AB ⊥，∴EFCD ．∴EF x CD EF x CD BD BD =⇒==． 所以四边形ACFE 的面积2211322ACFE ABC BEF S S S x x ∆∆=-=⨯-=．∴四棱锥P ACFE -的体积31363P ACFE ACFE V S PE x -==．即()3V x =-（0x <<．（2）由（1）知()212V x x '=． 令()0V x '=，解得6x =．∵当06x <<时，()0V x '>，当6x <<()0V x '<，∴当6BE x ==时，()V x 有最大值，最大值为()6V = （3）（解法1）过点F 作FG AC 交AE 于点G ，连接PG ，则PFG ∠为异面直线AC 与PF 所成的角．∵ABC ∆是等腰三角形， ∴GBF ∆也是等腰三角形．于是FG BF PF ====从而PG =在GPF ∆中，根据余弦定理，得2221cos 27PF FG PG PFG PF FG +-∠==⋅． 故异面直线AC 与PF 所成的角的余弦值为17． （解法2）以点E 为坐标原点，向量EA ，EF ，EP 分别为x ，y ，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()0,0,6P ，()F ，()6,0,0A ，()6,3,0C ．于是()AC =-，()6PF =-．异面直线AC 与PF 所成角θ的余弦为1cos 733AC PF AC PFθ===，故异面直线AC 与PF 所成的角的余弦值为17． 20．解：当a ＝0时，函数为()23f x x =-，其零点x ＝32不在区间[－1，1]上． 当a ≠0时，函数()f x 在区间[－1，1]分为两种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根．此时()4830a a ∆=++=，解得a =．当32a -=时，()0f x =的重根[]31,12x -=∈-． ②函数在区间[─1，1]上只有一个零点，但不是()0f x =的重根． 此时()()110f f -≤，即()()510a a --≤，解得15a ≤≤． ③函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时()()0,111,2110.a f f ⎧∆>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-≥⎩解得a <或5a ≥． 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围为[)3,1,2⎛--∞+∞ ⎝⎦．21．解：（1）解方程x 2＋x －1＝0得x ＝251±-， 由αβ>，知12α-+=，12β--=． （2）∵()21f x x '=+，∴1()()n n n n f a a a f a +=-'2121n n a a +=+． ()()2222212121212121n n n n n n n n n a a a a a a a a a αααααααα+-+-+---+--===+++． 下面用数学归纳法证明，当1n ≥时，0n a α->成立． ①当1n =时，110a αα-=-=>，命题成立． ②假设n k =（1k ≥）时命题成立，即0k a α->，此时0k a α>>． 则当1n k =+时，()21021kk k a a a αα+--=>+，命题成立．根据数学归纳法可知，对任意的正整数n ，有0n a α->． （3）根据（2），同理可得()2121nn n a a a ββ+--=+．∵n a αβ>>（1,2,3,n =），且11a =，∴11b =ln n n n a b a βα-=-()()2111211ln 2ln 2n n n n n a a b a a ββαα-------===--， 即数列{}n b 为首项为1b ，公比为2的等比数列． 故数列{}n b 前n 项和()()()121211214ln24ln1222n n n n b S +-==-⋅=--．。