从一题多解中学方法
求抛物线的解析式是第二十七章的一个重点和难点，也是中考的一个热点.亲爱的同学，现以2008年的一道中考题为例介绍求抛物线解析式的方法，供你学习时参考.
抛物线的解析式有以下三种常见的形式：
一般式：c bx ax y ++=2
(a ，b ，c 为常数，且≠a 0)，其特点是：等式右边是二次三项式的一般形式.
顶点式：k h x a y +-=2
)((a ，h ，k 为常数，且≠a 0），其特点是：(h ，k )是抛物线的顶点坐标.
交点式：))((21x x x x a y --=(a ，1x ，2x 为常数，且≠a 0），其特点是：等式右边的常数1x ，2x 是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，即两个交点坐标是(1x ，0)和(2x ，0).
例 （2008年山东临沂市中考题）如图1，已知抛物线与x 轴交于A (-1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3).
(1)求抛物线的解析式； (2)略； (3)略.
分析一：因为已知抛物线的三点坐标，故可选用一般式来求其解析式.
解法一：(1)设其解析式为2
ax y =+bx +c ，由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩
⎪⎨⎧==-=.3,2,
1c b a 故此抛物线的解析式为2
x y -=+2x +3. 点评：用待定系数法求a ，b ，c 需三个独立条件，若已知图象经过的三点的坐标或三对x ，y 的对应值，则可选用一般式来求其解析式，即建立关于a ，b ，c 的三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值后再回代即可.这种方法是求抛物线解析式最基本的方法，务必熟练掌握.
分析二：因为抛物线与y 轴交于点C (0，3)，即当x =0时，y =3.故可直接设抛物线
x y A M P
D
O
B
C
图1
的解析式为2
ax y =+bx +3，然后根据它过A (-1，0)、B (3，0)两点建立方程组求出a ，b 即可.
解法二：设抛物线的解析式为2
ax y =+bx +3，则由题意，得⎩
⎨
⎧=++=+-.0339,
03b a b a 解得
⎩⎨
⎧=-=.
2,1b a 故抛物线的解析式为2
x y -=+2x +3. 点评：当抛物线与y 轴的交点坐标已知时，马上就可得出解析式2
ax y =+bx +c 中c 的值，从而只需根据问题所给的另外两个条件求出a ，b 的值再回代即可.
分析三：由已知条件易求得抛物线的对称轴是直线12
3
1=+-=
x ，故抛物线的顶点的横坐标是1，因此可设抛物线的顶点坐标是(1，k )，从而可选用顶点式k h x a y +-=2
)(来 求其解析式.
解法三：由抛物线经过点A (-1，0)、B (3，0)，可知其对称轴是直线12
3
1=+-=
x ，由此可知抛物线顶点的横坐标是1，故可设其解析式为k x a y +-=2
)1(，则由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=.
)10(3,)11(02
2
k a k a 解得⎩⎨⎧=-=.4,1k a 故其解析式是2
)1(--=x y +4，即2x y -=+2x +3. 点评：当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时，可选用顶点式k h x a y +-=2
)(来求其解析式，此时只需根据另外的条件求出a ，k ，然后回代，并把它化为一般式即可. 此外，应注意这种情况的变式，即在题设条件中，若涉及对称轴或对称轴易于求出时，也可选用顶点式来求其解析式.
分析四：因为A (-1，0)、B (3，0)两点是抛物线与x 轴的两个交点的坐标，故可选用交点式来求其解析式.
解法四：因为抛物线交x 轴于A (-1，0)、B (3，0)两点，故可设其解析式为y =a (x +1) (x -3).又因为它交y 轴于点C (0，3)，故3=a (0+1)(0-3)，解得a =-1.故所求解析式是y =-(x +1)(x -3)，即2
x y -=+2x +3.
点评：当抛物线与x 轴的两个交点或交点的横坐标已知时，常常选用交点式来求其解析式，此时只需代入第三个条件即可求出a 的值，再回代，最后化为一般式即可.
现在就练：
（2008年湖南常德市中考题）如图2，已知四边形ABCD 是矩形，且MO=MD=4，MC=3. (1)求直线BM 的解析式；
(2)求过A 、M 、B 三点的抛物线的解析式.
参考答案：
解：(1)因为MO=MD=4，MC=3，故M 、A 、B 的坐标分别为(0，4)，(-4，0)，(3，
0)，设直线BM 的解析式为b kx y +=， 则⎩⎨⎧+⨯=+⨯=.30,04b k b k 解得⎪⎩⎪
⎨⎧
=-=.
4,34b k 故BM 的解析
式为43
4
+-
=x y . (2)解法一：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
，则⎪⎩
⎪⎨⎧=++=+-=c c b a c b a 43904160，解得
31-==b a ，4=c ，故43
1
312+--=x x y .
解法二：设抛物线的解析式为)3)(4(-+=x x a y ，将M (0，4)的坐标代入解得3
1
-=a ，故所求解析式为)3)(4(31-+-=x x y ，即--=231x 43
1
+x .
图2
A
D
O
C
B
M。