数字信号处理习题及答案==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答:3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的, 确定其周期。
(1)A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-= (2))81(j e)(π-=n n x解: (1) 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数, 因此是周期序列, 周期T =14。
(2) 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数, 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2,3,2,1}与序列{2,3,5,2,1}相加为__{4,6,7,3,1}__,相乘为___{4,9,10,2} 。
移位翻转:①已知x(n)波形,画出x(-n)的波形图。
②尺度变换:已知x(n)波形,画出x(2n)及x(n/2)波形图。
5. ①设某系统用差分方程y (n )=ay (n -1)+x (n )描述,输入x (n )=δ(n )。
若初始条件y(-1)=0,求输出序列y (n )。
得x(n)1)ax(n 0及差分方程y(n)1)解:由初始条件y(+-==-)()()(,时)2()1()2(,时2)1()0()1(时11)0()1()0(,时02n u a n y a n y n n a δay y n a δay ,y n δay y n n n ====+===+===+-==若初始条件改为y(-1)=1,求y(n) )()1()(方程,1)1(初始条件n x n ax n y y +-==-)()1()()1()(,时)1()2()1()2(,时2)1()1()0()1(,时11)0()1()0(,时02n u a a n y a a n y n n a a δay y n a a δay y n a δay y n n n +=+==+=+==+=+==+=+-==②设差分方程如下,求输出序列y(n)。
0n 0,y(n)δ(n),x(n) , x(n)1)ay(n y(n)>==+-=))()(()1(解:1n δn y a n y -=--,)())1()1(()2(,时1))0()0(()1(,时00))1()1(()0(,时121111<-=-=---=--=-=-=-==-==-----n a n y a δy a y n a δy a y n δy a y n n③设LTI 系统由下面差分方程描述:1)x(n 21x(n)1)y(n 21y(n)-++-=。
设系统是因果的, 利用递推法求系统的单位脉冲响应。
解: 令x (n )=δ(n ), 则1)δ(n 21δ(n)1)h(n 21h(n)-++-=n=0时,11)δ(21δ(0)1)h(21h(0)=-++-=n=1时,12121δ(0)21δ(1)h(0)21h(1)=+=++=n=2时,21h(1)21h(2)==n=3时,221h(2)21h(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 所以,δ(n)1)u(n 21h(n)1n +-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-6.离散时间系统。
请用基本组件,以框图的形式表示该系统。
解:7.① ①判断下列系统是线性还是非线性系统。
解:(a )系统为线性系统。
(b )系统为线性系统。
(c )系统是非线性的。
(d)系统没有通过线性性检验。
•系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非线性的(实际上,系统的输入输出表达式是线性的),而是因为有个常数B。
因此,输出不仅取决于输入还取决于常数B。
所以,当时B≠0,系统不是松驰的,如果B=0,则系统是松驰的,也满足线性检验。
(e)系统是非线性的。
②证明是线性系统。
证:②证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。
证:③①判断下述系统是因果的还是非因果的。
②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D )A. δ(n)B. h(n)=u(n)C. h(n)=u(n)-u(n-1)D. h(n)=u(n)-u(n+1)④⑤以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n),判断系统的因果性和稳定性。
(1)δ(n n-4)(2)+-u(1)n0.3答案(1)非因果、稳定(2)非因果、不稳定。
⑥判断题:一个系统是因果系统的充要条件是,单位序列响应h(n)是因果序列。
(错)8.①考虑下面特殊的有限时宽序列。
把序列分解成冲激序列加权和的形式。
解:②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表示 。
∑-=-=-+-+-+++-=31k k)x(k)δ(n 3)x(3)δ(n 2)x(2)δ(n 1)x(1)δ(n x(0)δ(n)1)1)δ(n x(x(n)③若⎩⎨⎧≤≤=其他402)(n n x n用单位序列及其移位加权和表示x(n)= )4(16)3(8)2(4)1(2)(-+-+-+-+n n n n n δδδδδ。
9. ① 一个LTI 系统的单位冲激响应和输入信号分别为求系统对输入的响应。
②一个松弛线性时不变系统。
求系统对于x(n)的响应y(n)。
解:用式中的卷积公式来求解③一个线性时不变系统的冲激响应为。
请确定该系统的单位阶跃响应。
解:④设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况,分别求输出y(n)。
(1)h(n)=R4(n) , x(n)=R5(n)(2)h(n)=2R4(n) , x(n)=δ(n)-δ(n-2)解:(1){1,2,3,4,4,3,2,1}(2){2,2,0,0,-2,-2}⑤设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n),,求对于任意输入序列x(n)的输出y(n),并检验系统的因果性和稳定性10.①考虑一个LTI,该系统的冲激响应为,确定a 的取值范围,使得系统稳定。
解:首先,系统是因果的因此,系统稳定的条件是|a|<1。
否则,系统是不稳定。
实际上,h(n)必须随n 趋于无穷呈指数衰减到0,系统才是稳定的。
②考虑冲激响应为的线性时不变系统,若该系统稳定,则a和b的取值范围为多少?解:显然系统是非因果的,所以,系统稳定的条件是 |a|<1 且 |b|>1 。
11. 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解:直接代入公式有12. 数字信号是指___时间幅度都离散的 _______的信号。
判断:数字信号处理的主要对象是数字信号,且是采用数值运算的方法达到处理目的的。
( 对 ) 判断:单位阶跃序列与矩形序列的关系是u(n)N)u(n (n)R N--=。
( 错 )判断:因果系统一定是稳定系统。
( 错 )判断:如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化,则这种系统称为时不变系统。
(对) 判断:所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。
( 对 )判断:差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。
(错。
差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性,还需要用初始条件进行限制。
)判断:若连续信号属带限信号,最高截止频率为Ωc,如果采样角频率Ωs<2Ωc,那么让采样信号通过一个增益为T 、 截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器,可以唯一地恢复出原连续信号。
( 错 。
角频率Ωs ≥2Ωc )设系统的单位抽样响应为h(n),则系统因果的充要条件为( 当n<0时,h(n)=0 )=======================第二章 z 变换与DTFT =======================1. ①设x (n )=R N (n ),求x (n )的傅里叶变换。
)2/sin()2/sin(e)e e (e )e e (e e 1e 1e e )()e (解:2/)1(j 2/j 2/j 2/j 2/j 2/j 2/j j j 1j j j ωωωωωωωωωωωωωωN n R X N N N N N nN nnnN --------∞-∞=-=--=--=--===∑∑当N =4时,其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示:②序列2)δ(n x(n)-=的傅里叶变换为 ω2j e-。
③设系统的单位脉冲响应h (n )=a nu (n ), 0<a <1, 输入序列为x (n )=δ(n )+2δ(n -2)。
完成下面各题:(1) 求出系统输出序列y (n );(2)分别求出x (n )、 h (n )和y (n )的傅里叶变换。
2)u(n 2a u(n)a 2)]δ(n [δ(n)u(n)a x(n)h(n)解:(1)y(n)2n n n -+=-+*=*=-(2)j2ωn jωnjω2e 12)]e2δ(n [δ(n))X(e-∞-∞=-+=-+=∑jωn jωn n n jωnn jωae 11e a u(n)ea )H(e -∞=-∞-∞=--===∑∑jωj2ωjωjωjωae 12e 1)X(e )H(e )Y(e ---+=⋅=④n))的傅里叶反变换x(。
求X(e π|ω|ω0,ω|ω|1,)1、已知X(ejw 00jω⎩⎨⎧≤<<=πnn sinωdωe 2π1解:x(n)0ωωjωn 00==⎰-2.sin(πk/8)sin(πk/2)e )e (ee)e(e e e1e 1(n)ex (k)X 解:k 83πj k 8πj k 8πj k 8πj k 2πj k2πj k 2πj k 4πj jkπ70n kn82πj ~~-------=-=--=--==∑3. ①②4. ①x (n )=u (n ), 求其Z 变换。
解:当|z |>1时 X (z )存在,因此收敛域为|z |>1 ②x (n )=R N (n )的Z 变换及其收敛域。
(有限长序列) 解:收敛域为: 0<|z |≤∞③求序列)()(n u a n x n的Z 变换及收敛域。
(右边序列之因果序列)解:n 1211nn 1nn n)(az )(az az 1)(azu(n)za X(z)---∞=--∞-∞=++++===∑∑这是无穷等比级数,公比是1-=az q , 在什么情况下收敛?||||即,1||1a z az ><-a z ,a z zaz 11所以:X(z)1>-=-=-本例,极点为z=a 。