2)( x 2)(0
3) 3)
l2
(x)
(x (2
1)( x 1)( 2
0)( x 0)(2
3) 3)
(x 1)( x 0)( x 2) l3(x) (3 1)(3 0)(3 2)
g(x) 2l0 (x) 0l1(x) 1l2 (x) 3l3(x)
例 已知 100 10, 121 11, 144 12 分别用线性插值和 抛物插值求 115 的值。
L2 (x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x) f (x2 )l2 (x)
这是一个二次函数，用二次函数 L2 (x)近似代替函数 f (x) ，在几何 上就是通过曲线y f (x)上的三点 (x0 , y0 ), (x1, y1), (x2, y2 ) ，作一抛物 线 y L2 (x) 近似地代替曲线y f (x（) 图2-3），故三点插值(二次插 值)。
将所得结果与 115 的精确值10.7328…相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。
为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式改写成对 称形式
Ln (x)
n
y
k
k 0
n
j0 jk
x x j xk x j
Ln (x)
17
算法： li
( x x0 )L ( x xi1)( x xi1)L ( x xn ) ( xi x0 )L ( xi xi1 )( xi xi1 )L ( xi xn )
fx=0.0
for(i=0;i<=n;i++)
{
tmp=1.0;
for(j=0;j<i;j++)
tmp=tmp*(x-x[j])/(x[i]-x[j]);
解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11
L1
(
x)
10
*
x 121 100 121
11*
x 100 121 100
故用线性插值求得的近似值为
115
L1 (115)
10
*
Байду номын сангаас
115 100
121 121
11*115 100 121 100
10.714
对应于 n (x) span{1, x, x2 , xn}
则
1
1
x0n
xi x j 0
xnn
0 jin
Vandermonde行列式
多项式插值的Lagrange型
• 如何找？
在基函数上下功夫，取基函数为
{li ( x)}in0 n
要求
li (x j ) ij
0, i 1, i
y
(x , y )
0
0
y f x y L1 x
(x , y )
1
1
0 x0
图2-2
x1
x
12
• 二次插值
l0
(x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y
(x , y ) 00
y L2 x
(x , y ) 11
y f x
(x , y ) 22
0
x0
x1
x
图21-43
例：(1,2),(0,0),(2,1),(3,3)
l0 (x)
(x 0)( x 2)( x 3) (1 0)(1 2)(1 3)
l1 ( x)
(x (0
1)( x 1)( 0
第一章 曲线插值与曲线拟合
刘云华
1
§1 引言 §2 拉格朗日插值多项式 §3 分段低次拉格朗日插值 §4 Neville逐步插值方法 §5 Newton插值 §6 Hermite插值和分段三次Hermite插值 §7 曲线拟合
2
• 概念
实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼 近f(x)。
xi1 )( x xi1 )L xi1 )( xi xi1 )L
(x xn ) ( xi xn )
n
记 n ( x) ( x xi ) i0
li
(x)
'n
n (x)
( xi )( x
xi
)
线性插值
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 ( x)
x x0 x1 x0
L1(x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x)
设 g(x) a00 (x) L ann (x) 则
g(xi ) f (xi ) a00 (xi ) L ann (xi )
a00 (x0 ) a11(x0 ) L ann (x0 ) f (x0 )
a00 (x1) a11(x1) L ann (x1)
M
f
( x1 )
a00 (xn ) a11(xn ) L ann (xn ) f (xn )
16
仿上，用抛物插值公式所求得的近似值为
115
L2
(115)
10
*
(115 (100
121)(115 121)(100
144) 144)
11*
(115 100)(115 144) (121 100)(121 144)
12 * (115 100)(115 121) 10.723 (144 100)(144 121)
所以{ai }in0有解，当且仅当系数行列式不为0
存在唯一定理
定理1.1 ：xi
n i0
为n＋1个节点，
span{0 ,1,
n}
n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当
0 (x0 )
0 (xn )
n (x0 )
0
n (xn )
特点：
1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同
自然地，希望g(x)通过所有的离散点
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定义：f (x) 为定义在区间
a,b 上的函数，xi
n
i0为区间上n+1个互不
相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 g(x) 满足
g(xi ) f (xi ) , i 0, , n
问题
是否存在唯一 如何构造 误差估计
j j
n
则 g (x) li (x) f (xi )
i0
求 {li ( x)}in0 ，易知：
li ( x) ai ( x x0 ) ( x xi1)( x xi1) ( x xn )
ai
( xi
x0 )
( xi
1 xi1 )( xi
xi1 )
( xi
xn )
li
( x x0 )L (x ( xi x0 )L ( xi