数学函数知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合 Ax | y lg x ， B y | y lg x ， C ( x, y) | y lg x ， A 、 B 、 C中元素各表示什么？A 表示函数 y=lgx 的定义域，B 表示的是值域，而C 表示的却是函数上的点的轨迹2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况( 注重借助于数轴和文氏图解集合问题)空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合 Ax|x 22x 3 0 ， B x|ax 1若B A ，则实数 a 的值构成的集合为（答：1，0， 1）3显然，这里很容易解出 A={-1,3}. 而 B 最多只有一个元素。

故 B 只能是 -1 或者 3。

根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0, 不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质：（1）集合 a 1，a 2，⋯⋯，a n 的所有子集的个数是 2n；要知道它的来历： 若 B 为 A 的子集，则对于元素a 1 来说，有 2 种选择（在或者不在） 。

同样，对于元素 a 2, a 3, ⋯⋯ a n , 都有 2 种选择，所以，总共有 2n 种选择， 即集合 A 有 2n 个子集。

当然，我们也要注意到，这 2n 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在和全部不在的情况，故 真子集个 数为 2n 1，非空真子集个数为 2n 2（2）若A BA B AA B B ；（3）德摩根定律：C U ABC U A C U B ，C U ABC U AC U B4. 你会用补集思想解决问题吗？（ 排除法、间接法 ）如：已知关于 x 的不等式ax5 0的解集为 M ，若 3 M 且 5 M ，求实数 ax 2a的取值范围。

（∵ 3M ，∴a · 35 032aa1，59， 25 ）M ，∴a · 55 3∵ 552a5. 熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ()，“且”()和“非”().1. 若p q 为真，当且仅当 p 、 q 均为真2.若p q 为真，当且仅当 p 、 q 至少有一个为真3,若 p 为真，当且仅当 p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？答: （互为逆否关系的命题是等价命题。

） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6. 熟悉充要条件的性质（高考经常考）A { x | x 满足条件 p} ，B { x | x 满足条件 q} ，若 ；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ； 若 ；则 p是 q的必要非充分条件A _____B ；若；则 p 是 q的充要条件 A _____ B ；若；则 p 是 q的既非充分又非必要条件 ___________ ； 7. 对映射的概念了解吗？映射 f ：A → B ，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。

）m注意映射个数的求法。

如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 n 个。

如：若 A {1,2,3,4} ， B{ a, b, c} ；问： A 到 B 的映射有 个， B 到 A 的映射有 个； A 到B 的函数有个，若 A{1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射有个。

8. 求函数的定义域有哪些常见类型？x 4 x（答： 0， 22， 33，4 ）例：函数 y的定义域是lg x23函数定义域求法：（1）. 分式中的分母不为零；（2）. 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）. 指数式的底数大于零且不等于一；（4）. 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

（5）. 正切函数 ytan xxR, 且 x k, k2（6）. 余切函数 ycot x x R,且 x k , k9. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x)的定义域是a ，b ， b a 0，则函数 F ( x) f (x) f ( x)的定义域是 _____________。

（答： a ， a ）复合函数定 义域 的 求法 ：已 知 yf ( x) 的 定义 域为 m, n ， 求 yf g(x) 的定 义域 ，可 由m g( x) n 解出 x 的范围，即为 yf g(x) 的定义域。

例：若函数 yf ( x) 的定义域为1 ，则 f (log2 x) 的定义域为。

,22分析：由函数 yf (x) 的定义域为1,2 可知：1x 2 ；所以 yf (log 2 x) 中有1log 2 x 2 。

222解：依题意知：1log 2 x22解之，得： 2x 4∴f (log 2 ) 的定义域为 x | 2 x 4x10．函数值域的求法（1）、配方法 配：求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 y= x 2 -2x+5 ，x [-1 ，2] 的值域。

（2）、判别式法： 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用（ 3）、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数 y= 3x 4 值域。

5x6（ 4）、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数 y=e x1， y2sin 1， y2sin 1的值域。

e x 11 sin1 cosye x 1 e x1 y 0e x11 yy2sin 1 | sin | | 1y | 1,1 sin2 yy 2sin 1 2sin 1 y(1 cos )1 cos2sin y cos 1 y4 y 2 sin(x)1 y,即sin(x)1 y4 y 2又由sin(x) 知1 y 114 y 2解不等式，求出 y ，就是要求的答案（5）、函数单调性法： 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例：求函数 y=2x 5log 3x 1 （2≤x ≤10）的值域（6）、换元法： 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例：求函数 y=x+x 1 的值域。

（7）、数形结合法： 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单。

22例: 求函数 y=x6x 13 +x4x 5 的值域( x2222解：原函数可变形为： y=3)(0 2) +(x2)(0 1)上式可看成 x 轴上的点 P （x ，0）到两定点 A （ 3， 2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，22由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y m in =∣AB ∣ = (3 2)(2 1) = 43，故：所求函数的值域为 [ 43 ， +∞）。

(8) 、不等式法： 利用基本不等式 a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥3 3 abc （a ，b ，c ∈R ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：x 2 2 ( x 0)x=x21 13 3 x21 13xx x x(应用公式a+b+c3 3abc 时，注意使者的乘积变成常数）3 (9). 倒数法 ：有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例：求函数 y=x2的值域x 3yx 2x 3x 2 0时，1 x2 1x1 1yx 222 0 yx 22x 2 时， y =00 y 1211. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤：①反解 x ；②互换 x 、 y ；③注明定义域如：求函数 f (x )1 x x 0 x 2x的反函数（答： f x 1x 11(x)x）x12.反函数的性质： 1. 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的 x 对应原函数中 y ）2. 反函数的值域是原函数的定义域 （可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x ）3. 反函数的图像和原函数关于直线 =x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y ，x ）关于直线 y=x 对称①互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设 y f(x) 的定义域为 A ，值域为 C ， aA ， b C ，则 f(a) = b f 1 (b) a f 1 f (a) f 1 (b) a ， f f 1 (b) f (a)b13. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法：根据定义，设任意得 x 1,x 2，找出 f(x 1),f(x 2 ) 之间的大小关系可以变形为求f ( x 1 )f ( x 2 )的正负号或者f ( x 1 )与 1 的关系x 1 x 2f (x 2 )如：求 y log1 x2 2 x 的单调区间2（设 u x 22x，由 u0则 0 x 2且 log 1u， u x 121，如图：2uO12x当x( 0， 1]时， u，又 log 1u，∴ y2当x[1， 2) 时， u，又 log 1u，∴ y2∴⋯⋯）14.如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a，b 内，若总有 f '( x )0则 f ( x )为增函数。

（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若 f '( x)0呢？如：已知 a0，函数 f ( x)x 3ax在 1，上是单调增函数，则 a的最大值是（）（令 f '( x) 3x 2 a 3 x a x a033则 x a或 x a 33由已知 f ( x) 在 [1，)上为增函数，则a1，即 a 3 3∴a 的最大值为 3。

15.复合函数奇偶性：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

16.若 f(x) 是奇函数且定义域内有原点，则f(x)=0 。

如：若 f ( x)a· 2 x a2 为奇函数，则实数a2 x1（∵ f ( x) 为奇函数， x R，又 0R，∴ f (0)0即 a· 20a20，∴ a1）20117.判断函数奇偶性的方法1、定义域法：一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法：在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 f ( x) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性 .这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0奇函数f(x)-f(-x)=0偶函数f(x)偶函数1f(-x)f(x)奇函数1f(-x)18 . 你熟悉周期函数的定义吗？如：若 f x a f ( x) ，则（答： f (x)是周期函数， T2a为f (x) 的一个周期）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉 f(x)+f(x+t)=0,要马上反应过来，这时说这个函f ( x )f( x t )0f ( x )f ( x 2 t ) ，数周期 2t. 推导：f ( x t )f( x2t ) 0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数 f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。