第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。