三、概念的教学设计案例案例一算法的概念一、内容和内容解析本节课是算法的起始课，主要内容有：算法的概念、用自然语言描述算法。

算法是一种解决问题的方法，是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础。

算法的思想有着广泛的应用性。

在数学中，算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。

为了有利于学生领会算法思想，培养逻辑思维能力，在中学数学中，我们限定“在数学中”讨论算法概念，所用的例子(载体)均为数学问题。

“按一定规则”指的是解决具体问题时的依据和表达方式，关注的是算法的基本逻辑结构(顺序、条件和循环)，也表示算法具有有序性。

“解决某一类问题”，强调的是算法适用对象的常态，突出算法的研究价值以及它的普遍适用性，也表明解决某一具体问题的方法与一般问题的算法既有联系又有区别。

“明确性”要求算法的每一步都是明确的、可执行的，“有限性”则表示一个算法的步骤是有限的。

算法有多种表示方法，其中自然语言描述与日常语言表达方式最接近，是学习其他表示方法的基础。

中国古代数学以算法为主要特征，蕴涵着丰富的算法思想。

现代信息技术的发展使算法焕发出新的生机和活力，并使之成为当代社会必备的基本知识。

算法进入高中必修内容反映了时代的需要。

算法具有的基本逻辑结构与形式逻辑结构存在对应关系，有着丰富的逻辑思维材料。

算法思想贯穿于整个中学数学内容之中。

因此，算法的学习对整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系。

又由于算法的具体实现上可以和信息技术相结合，因此，算法的学习有利于提高学生的逻辑思维能力、有条理的思考与表达的能力，对他们的理性精神和实践能力培养也很有利，同时可以让他们知道如何利用现代技术解决问题。

二、目标和目标解析本节课的教学目标是：1．通过案例(二元一次方程组的解、质数的判定等)，使学生了解算法的概念，认识算法的特征，理解算法的自然语言表示，并会初步用自然语言描述算法。

2．使学生体会算法的思想，了解算法的基本逻辑结构，培养观察能力、表达能力和逻辑思维能力。

本节课教学重点是，通过一些具体问题，使学生初步学会从具体解题过程中概括解题过程的逻辑结构。

通过解法与算法的比较，体会算法思想，形成算法概念，并会用自然语言描述一些具体问题的算法。

三、教学问题诊断算法对学生来说并不陌生，比如列方程解应用题，证明函数的单调性，求曲线的方程等，都可以归结为“算法”。

因此，学生具有学习算法的基础。

另一方面，由于需要从解决(一类)具体问题中，通过概括其内在逻辑结构而获得算法，因此算法概念的建立需要经历的概括过程具有更高的抽象性，从而会使大部分学生产生理解上的困难。

因此，算法概念的形成需要经历较长时间的不断领悟才能完成。

算法的实质是将人的思维过程处理成按部就班的步骤，成为计算机能够执行的程序。

所以算法概念的学习需要较强的逻辑思维能力。

在教学中，为了兼顾不同能力发展的学生，需要注意使用恰当的案例，使学生能顺利地从中了解算法概念的本质。

由于算法是解决某一类问题的“通用步骤”，即具有普适性的逻辑结构，而学生面临的问题往往是具体的，因此需要建立一个从具体问题的解法到“通用步骤”的通道，以引导学生把注意力集中到如何从具体“解法”中看到解决一类问题的“通法”上。

显然，这对许多学生来讲都是困难的，是本课时的主要难点之一。

在用程序框图表示解决问题的过程时，顺序结构比较容易，条件结构、循环结构比较困难。

特别是要从“重复执行某几个操作步骤”中概括出循环结构，难度更大。

在本节课中，虽然只是用自然语言表达算法，但需要为解决循环结构这一教学难点打好基础。

，四、教学支持条件分析条件许可时，可以借助计算机或计算器进行运算或表达算法。

五、教学过程设计(一)课题引入教师介绍：课本的章头图中，前景有算筹、算盘、计算机，它们与算法有紧密的联系。

后景取自宋朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》，借此介绍我国古代数学在算法方面的伟大成就。

纵观章头图，从古到今，算法始终扮演着重要的时代角色。

提问：什么是算法?引出课题一～算法的概念。

设计意图：充分挖掘章头图的教学价值，使学生了解算法概念的由来；知道算法与计算机紧密相关；了解中国古代数学与算法的关系；从而自然地引出课题，并激发学生学习算法的兴趣。

(二)引出算法概念问题1 你能写出求解二元一次方程组2121x y x y -=-⎧⎨+=⎩的步骤吗?设计意图：从学生熟悉的解二元一次方程组问题中，明确提出归纳求解步骤的任务，引导学生经历算法分析的基本过程，并在此过程中引导学生关注更具一般性解法，为从“解法”向“算法”过渡做好准备。

师生活动：先让学生独立解方程组。

收集学生的不同解答，再与教科书上的解答作比较。

问题2 同学们的解答和教科书上的解答有什么不同?为什么课本只用加减消元法?设计意图：学生一般习惯于在得出第一个未知量的解后，采用代入法求出第二个未知量。

本问题旨在引导学生关注课本的表达方式具有的步骤性特征，求解两个未知量的逻辑结构是一致的。

师生活动：教师引导学生从解法和表达方式上进行对比，让学生在对比后明确：课本关注的是解二元一次方程组的逻辑结构。

问题3你能按照上述步骤，得出方程组111222 1 2a x b y c a x b y c +=+=（）（）的求?设计意图：在解具体的二元一次方程组的基础上，推广得出解一般的二元一次方程组的步骤，让学生体会“只用加减消元法解二元一次方程组”的好处，提高他们对算法是解决一类问题的步骤的认识，为建立算法的概念奠定基础。

师生活动：让学生在原来五个步骤的基础上，将具体数字修改为字母表示，从而得出求解步骤。

教师投影显示解题步骤：第1步，(1)×62～(2)×6l ，得(以j62——d261)z 一6201—61 c2； (3)第2步，解(3)，得一62(’l 一61f2z ～i 万而’第3步，(2)×以1一(1)×＆2得(“l ，J2一a2b1)y —nl f2一“2f1； (4第4步，解(4)，得一以1 C2一以2C1y 一。

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2bl ；fz 一--------r-b2cl--b~c2．第5步，得到方程组的解为：J 口’D 。

一口。

D ’【y 一刁alC 而2--~2C1。

在得出上述步骤后，教师引导学生分析上述解题过程的结构，爿指出以上步骤就是求解二元一次方程组的一个算法，把它编成程序斟可以用计算机来解二元一次方程组了。

(三)分析归纳，得到算法概念问题4到底什么是算法?如何表达算法的含义?设计意图：在学生对算法的概念有了一定认识的基础上，通过本问题的引导，归纳概括出算法的概念。

师生活动：先让学生用自己的语言表达对算法概念的理解，在学生思考、交流、回答的基础上，教师进行归纳，帮助学生认识算法的概念。

教师指出：在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。

在出示概念后，教师再结合问题3，带领学生解读概念中的部分关键词“按一定规则”“解决一类问题”。

(四)学习用自然语言描述算法，进一步理解算法概念引导性语言：大家知道，1997年，香港回归；1999年，澳门回归。

有意思的是，这两年均是质数年。

你知道如何判定1997、1999是质数吗?一般地，如何判定一个正整数是否为质数?下面从具体问题的讨论井始。

问题5 7是否为质数?你能写出判定7是否为质数的算法吗?设计意图：本问题的解答过程中，存在重复性步骤，分析其中的结构，可以使学生体会到算法的特征，也为学习算法的自然语言表示提供时机。

师生活动：1．什么是质数?2．如何判断一个数是否为质数?如何写出判断过程的基本步骤?教师提出上述两个问题后，先让学生独立写出判定步骤，交流、点评学生的作业，引导学生体会如何从算法的角度思考质数的判定，体会算法的特征，知道下列表述的步骤是不明确的，所以都不是算法：(1)因为2～6的整数都不能整除7，所以7是质数；(2)第l步，用2除7，得到余数不为0，所以2不能整除7；第2步，同理，3～6的整数都不能整除7，所以7是质数。

交流、点评后，教师接着提问：3．你能写出判断35是否为质数的算法吗?学生完成后，教师提问：4．判断7和35是否为质数的过程有何相同之处?有何不同之处?教师在学生回答后小结：对7是在试完2～6的所有整数后才知道是质数；对35是在试到5时，也就是在试的过程中，就得出不是质数；不管哪个数，判断过程都是按一定规则有序进行的，都存在着“重复性步骤”。

问题6 你能写出判定1997是否为质数的算法吗?设计意图：让学生在写的过程中体会算法的“明确性”，学习用递归语言表达有循环结构的问题，体会算法的结构和特征。

师生活动：让学生试着写一写，可能会出现不同情况。

教师有针对性地进行相应讲解。

学生可能会写出下列步骤：第1步，用2除1997，得到余数为l。

因为余数不为0，所以2不能整除1997。

第2步，用3除1997，得到余数为2。

因为余数不为O，所以3不能整除1997。

第3步，用4除1997，得到余数为1。

因为余数不为0，所以4不能整除1997。

第1995步，用1996除1997，得到余数为1。

因为余数不为O，所以l 996不能整除1997。

因此，1997是质数。

教师可以因势利导地指出：因为“……”表达的步骤不明确，计算机无法识别这样的语言，所以上述步骤不是一个算法。

事实上，大家是看到了每一步都在重复着同一种结构，而且不愿意去做这样的重复劳动，才用“……”来代替。

那么，能否从中概括出一个计算机认识的算法步骤，让计算机来干这一重复性工作呢?引导学生分析：在判定7是否为质数的每一个步骤中，从结构上考察，可以发现，除了除数不同、余数不同外其余都是一致的。

如果用i表示除数，r表示余数，那么所有步骤都可以表示为：“用i除7，得到余数为r。

因为r不为0，所以i不能整除7。

”同样的，只要把7改为1997，则每一步骤都可以表示为：“用i除1997，得到余数为r。

因为r不为0，所以i不能整除1997。

”因此，我们可以把判定1997是否为质数的算法写为：第1步，令i一2。

第2步，用i除1997，得到余数为r。

第3步，判断r是否为O。

若是，则1997不是质数；否则把i的值增加1仍记为i。

第4步，判断“i>1996”是否成立。

若是，则1997是质数；若否，返回第2步。

问题7任意给定一个大于2的整数n，能否设计一个算法对n是否为质数做出判断?设计意图：从特殊到一般，突出重点，突破难点。

促进学生对算法概念的进一步理解，感受算法的作用和优势，进一步学习用递归语言描述算法。

师生活动：在问题6的基础上，通过学生活动，修改判断1997是否是质数的算法得出该问题的算法。