①不存在点 D ，使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形；
②不存在点 D ，使四面体 ABCD 是正三棱锥；
③存在点 D ，使 CD 与 AB 垂直并且相等；
④存在无数个点 D ，使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上，其中真命题的个数是
．
16. 已知只有 50 项的数列 an 满足下列三个条件：
0 与不等式组
xm x y 8 表示的平面区域 x 3y 0
总有公共点，则直线 l : mx 3y n 0(m, n R) 的倾斜角 的取值范围为
．
15. 如图，四面体 OABC 的三条棱 OA ，OB ，OC 两两垂直， OA OB 2 ，OC 3 ，D 为四面体 OABC
外一点，给出下列命题 .
②当 a 0 时 , 令 f x 0 ，则 x ln a ，
若 x ln a ， f ( x) 0 , 所以 f ( x) 在 ( ,ln a) 上是单调减函数；
所以 x ln a ， f ( x) 0 ，所以 f (x) 在 ln a, 上是单调增函数 .
（ 2 ）由（ 1 ） 可知当 a 0 时，函数 y f x 其 图象与 x 轴交于两点，
且 ABC 为等腰直角三角形，记
x2 1 t ，求 at a t 的值 . x1 1
二选一：请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并在相应题号前的方框中涂黑 .
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x 1 cos
（其中
y sin
为参数），曲线
x2 C2：
8
y2 4
1.
以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .
y2
12 x 的焦点，双曲线的渐近线方程为
y
2x , 则实数 a （ ）
A． 3 B ． 2 C.
3 D ．2 3
6. 已知
10
， a (0, ) ，则 cos 2a
的值为（ ）
10
2
6
A． 4 3 3
B ． 4 3+3
C.
10
10
4 33
D
10
7. 如图是某几何体的三视图 , 则该几何体的体积为（ ）
20.
己知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
la
b
0 的一个焦点与抛物线
E:x
3 y2 的焦点相同， A 为椭圆 C 的右 12
顶点，以 A 为为圆心的的圆与直线
y
b x 相交交于 P ， Q 两点，且 AP AQ
a
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程；
0 ， OP
3OQ .
（Ⅱ） 不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点，已知 OM . 直线 l ，ON 为直径的圆的面积分别为 S1 、
y0 ,
2
所以 y0
x2
x1
0 ，即 e x1 x2
a (x1 x2 ) a
x2
x1
0
2
22
2
所以 a ( x1 1)(x2 1)
a 2 ( x1
x2 )
a
x2 x1 2
0，
即 a ( x1 1)(x2 1)
a ( x1 1) ( x2 1)
( x2 1) (x1 1)
0.
2
2
因为 x1
1
0 ，则 a
则有 ei axi a 0 ， 则
a xi 1 ei 0 xi 0 xi 1(i 1,2) .
于是
1 e
2
a ( x1 1)(x2 1) ，在等腰三角形 ABC 中，显然 c 90 ，所以 x0
x1 x2
( x1, x2) ，即
2
2
y0 f ( x0 ) 0 ，
由直角三角形斜边的中线性质，可知
x2 x1
A． 0，2 B ． 0,
C ． 1,
D ． , 1 0,
2. 已知复数 z a
内对应的点位于（
a i( a 3i
）
R ，i 为虚数单位 ), 若复数 z 的共轭复数的虚部为
A． 第一象限
B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限
1
,
则复数 z 在复平面
2
3. 若 (2 x 1)n a0 a1x a2x2
3
f x2
0 ，则 x2 x1 的取值范围为（
A． ( , ) 6
B ．( , 3
12. 对于函数 f x 和 g x ，设
) C. x/ f x
2 (,)
3
4 D ．( , )
3
0 ; { x / g x 0} , 若所有的
, ，都有
）
1，
则称 f x 和 g x 互为“零点相邻函数” . (f x) ex 1 x 2 与 与 g x x2 ax a 3互为“零点相邻 函数” , 则实数 a 的取值范围是（ ）
0.001 10.828
19. 已知在直角梯形 ABC D 中， A CBD ，使二面角 C BD A 为直角 .
（ 1）求证：平面 ADC 平面 ABC ；
B 90 ， AD AB 1 , BC 2 ，将 C BD 沿 BD 折起至
（ 2）若点 M 满足 AM
AC ，
0,1 ，当二面角 M BD C 为 45 时，求 的值 .
S2 ，试探究 S1 S2 的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由
.
21. 已知函数 f ( x) ex ax a a R ，其中 e 为自然对数的底数 .
（ 1）讨论函数 y f ( x) 的单调性；
（ 2）函数 y f ( x) 的图像与 x 轴交于 A( x1,0) ， B x2 ,0 两点， x1 x2 ，点 C 在函数 y f x 的图像上，
① ai 1,0,1 i 1,2 50 ② a1 a2
a50 9 ；
③ 101 (a1 1)2
2
a2 1
2
a50 1 111 .
对所有满足上述条件的数列
{
an }
，
a
2 2
a2 2
a502 共有 k 个不同的值，则 k
．
三、解答题（共 6 个小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
分布 N 95,1752 ，数学成绩的频率分布直方图如图：
（ 1）如果成绩大于 130 的为特别优秀， 这 500 名学生中本次考试语文、 数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（ 2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有
6 人，从（ 1）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科
都特别优秀的有 X 人，求 X 的分布列和数学期望 .
2017~ 2018 学年度下学期高三十七模考试
高三年级数学试卷 ( 理科 ) 答案
一、选择题
1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11
二、填空题
、 12： BB
1
13.
14.
0,
,
15.6
16.2
个
6
42
三、解答题
17. （1）设等差数列 an 的公差为 d ，因为 a2 S2 S1 4 2
an x n 的展开式中的二项式系数和为 32，则 a1 a2
an （ ）
A． 241 B ． 242 C ． 243 D ． 244
4. 运行如图所示程序 , 则输出的 S 的值为（ ）
A．
1 44
2
B
．
1 45
C. 45 D
2
． 46 1 2
5. 已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左焦点为抛物线
4 x12
1
x12 4
x22
1
x22 4
3 16
x12
x22
3
2
2 16 x1 x2
2 x1 x2
2
3 64k 2m2 16 1 4k2
8 m2 1 1 4k2
2
3 4m2 4 m2 1 16
5 24
故 S1 S2 为定值，该定值为 5 . 4
21.( 理 ) 解: （ 1） f x e a.
①当 a 0 时，则 f x 0 ，则函数 f x 在 ( , ) 是单调增函数 .
∴有 99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀
.
由题设知， k 2 k1k2
y1y 2 x1x2
( kx1 m)(kx2 m) k2 km(x1 x2 ) m2
x1 x2
x1 x2
∴ km x1 x2
m2
8k 2 m2
0 ，∴ 1
4k2
m2
0 ，∵ m 0 ，∴ k 2
1
，
4
则 S1 S2
．3 3 4 10
A． 6 B ． 9 C. 12 D
． 18
8. 已知 OA OB 2 , 点 C 在线段 AB 上 , 且 OC 的最小值为 1, 则 OA tOB ( t R ) 的最小值为 （ ）
A． 2
B ． 3 C. 2 D
．5
2sin x
3
3
9. 函数 y
( x [ ,0) (0, ]) 的图像大致是（ ）
1 1 x2
4
4
A．
B．
C.
D．
10. 已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1 的左、右顶点分别为
A , B ， P 为双曲线左支上一点，
ABP 为等腰三角形且
外接圆的半径为 5a ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 15