第三章：“不等式”教材分析
——集体备课讲稿
发言人：青田中学数学组叶小燕
一、地位和作用
不等式主要研究书的不等关系。
它与数、式、方程、函数、三角函数等有密切的联系，在解决各类实际问题是也有广泛的应用，因此不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具。
1.不等式具有变通灵活，应用广泛、知识综合，能力复合的特点，因此它是高考数学命题
的热点问题，综观近几年的高考题中对不等式的考察，其分值约站10-14%，着重考察：（1）求变量的范围；（2）解不等式；（3）使用均值不等式解最值最优解；（4）不等式的证明；（5）利用不等式解决应用问题。
二、课程目标：
1 知识与技能：
（1）掌握不等式的基本性质及常用的证明方法；
（2）熟练掌握两个基本不等式，并能用来解决一些简单的实际问题；
（3）掌握不等式的解法，重点是一元二次不等式。
2 过程与方法：
(1)在证明不等式性质的过程中渗透构造法和放缩法等数学思想方法
(2)用“类比”、“猜想”、“判断——论证”进行发现法教学，培养学生探究性学习思维和创
造性思维的能力；
(3)在探究不等式解法的过程中，体会不等式、方程与函数的联系。
3 情感与价值观：解决实际问题时，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
一、教材分析及处理：
(一）不等式的基本性质及证明：
1 不等式的基本原理：根据两个实数之差的符号来判断两个实数的大小关系是两个实数比较大小的基本方法，也是本章的出发点。
在教学过程中要根据学生情况适当补充例题，使学生理解利用因式分解或配方法进行变形、然后确定差的符号的方法。
2 不等式的基本性质及证明：
（1）通过不等式的3条基本性质的证明，可进一步看到基本原理的应用。
在证明不等式的基本性质的过程中，必须注意推理的严密性。
另外，不等式的性质可用来作为证明其他不等式的依据。
（2）性质1、性质2及性质4的证明过程中，渗透着构造法和放缩法等数学思想方法，在教学过程中要注意引导，培养学生的思维能力。
（3）学生易把不等式的性质3及异向不等式相减的性质与等式性质混淆，教学过程中要反复强调它们的不同之处；学生也易忽视正数的同向不等式相乘的性质及同号两数的倒数的性质成立的条件，要反复提醒。
（4）例5是证不等式的开方性质，从已知条件很难入手，在复习命题知识的基础上，积极引导学生逆向思考，最后引出反证法；要控制难度，不要再补充其它题目。
（5）为深入理解性质2可设计以下提问：
提问1：如果a＞b,c＞d，那么a+c＞b+d成立吗？如果把上述结论改为a+d＞b+c成立吗？为
什么？
提问2：如果a ＞b,c ＞d ，那么a-c ＞b-d 成立吗？为什么？如何修改上述的条件，使结论a-c
＞b-d 成立？
为深入理解性质3可设计以下提问：
提问1：如果a ＞b,那么2ac ＞2
bc 一定成立吗？为什么？
提问2：如果a ＞b,c ＞d ，那么ac ＞bd 一定成立吗？为什么？ 提问3：如果a ＞b,那么
a 1＜b
1一定成立吗？为什么？ 提问4：如果0＞a ＞b,那么a 1＜b 1一定成立吗？为什么？如何修改上述的条件，使结论a 1＜b 1成立？
这样设计提问，不仅复习了第一章中的命题和推出关系，更重要的是用“类比”、“猜想”、“判断——论证”进行发现法教学，培养学生探究性学习思维和创造性思维。
（二）基本不等式：
1 在两个基本不等式中，要注意：
（1） 实数a 、b 的取值范围是不同的，教学过程中要特别强调；
（2） 两个基本不等式中等号成立的充要条件是a=b,要引起足够重视。
2注意不等式的综合使用和逆向使用，可得到以下重要结论： 如果2211,,2
2b a b a ab b a R b a +≤+≤≤+∈+
那么,当且仅当a=b 时等号成立 3 两个基本不等式都有广泛的应用。
如可用基本不等式证明不等式，求函数的值域，特别是求函数的最值——满足三个条件：一正、二定、三等号。
教学过程中要控制题目的难度。
4 重视代换思想在数学中的应用：如对，有0,2
≥∈t R t 若以a-b 代t ，则得），（，则得
代，代又若以于是+∈≥+≥+≥-R b a ab b a b b a a ab b a b a 2;2,0)(222若再以适当的正数代换a 、b ，则得),(2+∈≥+R b a b a a b ，)(21+∈≥+R x x x。
(三)不等式的解法：
1 一元二次不等式的解法：
（1） 通过由汽车刹车距离推算车速的实际问题引入一元二次不等式，说明一元二次不等式
在实际中有重要的应用，并且可对学生进行安全教育。
（2） 注意数形结合的教学。
解一元二次不等式就是借助于二次函数的图象，抓住①抛物线
的开口方向②抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点，从而确定不等式的解集。
同时运用二次函数图象的直观性帮助学生记忆。
（3） 要重视△＜0时解集为R 的逆向运用，培养学生逆向思维能力；
（4） 区间是特殊数集的表示方式，要求学生能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集。
（5） 例题3是开放性题目，答案不唯一，这类题目要引起重视，它有利于培养学生的逆向思维能力和创造性思维能力。
（6）
安排解不等式的实际应用问题，培养学生解决问题的能力，这是数学教学的导向，必须加以重视。
2分式不等式的解法：
（1）解分式不等式的主要依据是不等式的性质，一般是先移项、化简，然后用数轴标根法求解。
（2）解分式不等式时，切记随意去分母。
3 简单的绝对值不等式的解法：
（1）解简单的绝对值不等式，一般是根据绝对值的意义，作分类讨论或平方，设法去掉绝对值的符号，转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解。
注意培养学生的转化思想和分类讨论思想。
（2）单的绝对值不等式的基本类型如教材中的例题所示，解题后可作适当的归纳，使学生掌握基本解法。
但要控制题目的难度。
（四）了解不等式的基本证法：
1 比较法，是证明不等式的基本方法之一，有作差比较法和作商比较法两种。
2 综合法：从已知条件出发，以定理、运算性质、不等式的基本性质、基本不等式等为依据。
推导求得要证的结论。
3 分析法：从要求证的式子出发，经过适当的变形，分析得出要证的结论成立的条件，并判断这些条件都是成立的，从而得出原结论成立。
一般来说，分析法的证明过程就是步步寻找前面不等式成立的充分条件的过程。
5月18日。