含绝对值的二次函数
含绝对值的二次函数其本质是分段函数，研究含绝对值的二次函数就是分段研究二次函数的局部性态．设定分类讨论的标准是问题解决的前提条件，数形结合则是问题能否正确解决的关键 所在．
例1．解下列各题：
（1）（2010全国）直线1=y 与曲线a x x y +-=2有4个交点，则实数a 的取值范围是 ．
（2）（2008浙江）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间]3,0[上的最大值为2，则=t ．
（3）设集合{}
{}2,,022<=∈<++-=x x B R a a a x x x A ，若Φ≠A 且B A ⊆，则实数a 的取值范
围是 ．
例2．设函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2
（1）判断函数)(x f 的奇偶性；
（2）求函数)(x f 的最小值．
例3．已知函数1)(,1)(2-=-=x a x g x x f ．
（1）若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；
（2）若R x ∈时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）求函数)()()(x g x f x h +=在区间]2,2[-上的最大值．
例4．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--．
（1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围；
（2）求()f x 的最小值．
5.含绝对值的二次函数
班级 姓名
一、综合练习
1．设b a <<0，且x
x x f ++=
11)(，则下列大小关系式成立的是（ ） （A ）)()2()(ab f b a f a f <+< （B ）)()()2(ab f b f b a f <<+ （C ）)()2()(a f b a f ab f <+< （D ）)()2
()(ab f b a f b f <+< 2．已知{}n a 为等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和,若9843=++a a a ，则9S = ．
3．直线750x y +-=截圆221x y +=所得的两段弧长之差的绝对值是 ．
4．函数y k x a b =--+与y k x c d =-+的图象1(k 0k )3
>≠且交于两点)3,8(),5,2(，则c a +
的值是_______________. 5．任意满足305030x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
的实数,x y ，若不等式222()()a x y x y +<+恒成立，则实数a 的取值
范围是 .
6．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，N M ,是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PN PM ,的斜率分别为12,k k ，021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则双曲线的离心率为 ．
二、本讲练习
1．设函数c bx x x x f ++=)(给出下列四个命题：
① 0=c 时，)(x f y =是奇函数； ② 0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③ )(x f y =的图象关于),0(c 对称； ④ 方程0)(=x f 至多有两个实根．
其中正确的命题是 （ ）
（A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②④
2．若不等式2
1x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为 . 3．设a 为实数，函数a x x x f -=)(，求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值．
4．己知2)(,0bx ax x f a -=>函数，
（1）();2,10b a x f R x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意当
（2）当 1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是：b a b 21≤≤-．
5．已知函数)1(52)(2>+-=a ax x x f ．
（1）若函数)(x f 的定义域和值域均为],1[a ，求实数a 的值；
（2）若)(x f 在区间]2,(-∞上是减函数，且对]1,1[,21+∈∀a x x ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实
数a 的取值范围．
6．已知函数2
()(1)||f x x x x a =+--．
（1）若1a =-，解方程()1f x =；
（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．
6．已知函数2()(1)||f x x x x a =+--．
（1）若1a =-，解方程()1f x =；
（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．
解：（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,1
1,12)(2x x x x f ………2分 当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x
当1-<x 时，1)(=x f 恒成立 ………4分
∴方程的解集为：1|{-≤x x 或}1=x ………5分
（2）⎩
⎨⎧<-+≥++-=a x a x a a x a x a x x f ,)1(,)1(2)(2 ………7分 若)(x f 在R 上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0
141a a a ，解得：31≥a ………10分 （3）设)32()()(--=x x f x g ，则⎩⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a a x a x a x x g 3
)1(,3)3(2)(2 即不等式0)(≥x g 对一切实数R x ∈恒成立 ………11分
∵1<a
∴当a x <时，)(x g 单调递减，其值域为：),32(2∞++-a a
∵22)1(3222≥+-=+-a a a ，∴0)(≥x g 恒成立 ………13分
当a x ≥时，∵1<a ，∴4
3+<a a ， ∴08
)3(3)43()(2min ≥+-+=+=a a a g x g ，得53≤≤-a
∵1<a ，∴13<≤-a ………15分 综上：13<≤-a ………16分。