函数图象对称性的研究
摘要:在高中阶段,函数图象的对称性是其中的热点和难点,本文通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探
讨这个问题。
关键词:函数图象;对称
在高中阶段,函数图象主要研究平移、对称、伸缩等变形,函数图象的对称性是其中的热点和难点,本文通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨这个问题。
一、一个函数自身的对称问题
1.定义:
(1)关于某直线对称(轴对称,即绕轴对称翻折图象不变):函数
f(x)上任意一点(x,y)关于直线l对称的点也一定在函数f (x)上。
也可以理解为:函数y=f(x)关于直线l对称的函数仍为y=f(x)。
(2)关于某点对称(中心对称,即绕点旋转180度图象不变):函数f(x)上任意一点(x,y)关于点(a,b)对称的点(2a-x,2b-y)也一定在函数f(x)上。
也可以理解为:函数f(x)关于点(a,b)对称的函数仍为f(x)。
例1:求证:函数y=f(x)关于点a(a,b)成中心对称图形。
(供读者参考)
a问题一:f(x)+f(2a-x)=2b?圳函数f=f(x)的图像关于点a(a,b)对称。
特例:a=b=0时, f(x)+f(-x)=0 y=f(x)是奇函数。
证明:(必要性)设点p(x,y)是y=f(x)图像上任一点,
∵点p( x,y)关于点a(a,b)的对称点p(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,
∴2b-y=f(2a-x),
即y+f(2a-x)=2b,
故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点p(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0),
∵f(x)+f(2a-x)=2b,
∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,
即2b-y0=f(2a-x0) 。
故点p′(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点p与点p′关于点a(a,b)对称。
思考:f(x)+f(2a-x)=2b?圳f(a+x)+f(a-x)=2b。
例2:函数y=f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则y=f(x)图象关于
________对称。
b问题二:f(a+x)=f(b-x)?圳函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称,特例:a=b=0时f(x)=f(-x) y=f(x)是偶函数。
分析理解:自变量a+x、b-x的和为a+b,函数值相等。
区别记忆:f(a+x)=f(b-x) f(x)?
f(x+a)=f(b+x) f(x)?
一个函数时:x系数同正,一正一负才说明对称。
结论:一个函数时,x系数相同说明函数y=f(x)是周期函数,相反
说明两函数对称。
c问题三:
结论1:若函数y=f(x)图像同时关于点a(a,c)和点b(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
推论1:若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
推论2:若函数y=f(x)图像既关于点a(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
推论1、2的证明留给读者,以下给出推论3的证明:
∵函数y=f(x)图像既关于点a(a,c)成中心对称,
∴y=f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称,
∴f(2b-x)=f(x),代入(*)得:
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**),
用2(a-b)-x代x,得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]
代入(**)得:f(x)=f[4(a-b)+x],
故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
例3:定义在r上的非常数函数满足:f(10+x)为偶函数,且
f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是( )
(第十二届希望杯高二第二试题)
(a)是偶函数,也是周期函数
(b)是偶函数,但不是周期函数
(c)是奇函数,也是周期函数
(d)是奇函数,但不是周期函数
解:∵f(10+x)为偶函数,
∴f(10+x)=f(-10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10,
因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,
∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴,
因此f(x)还是一个偶函数。
故选(a)。
二、两个函数对称问题
定义:1、关于某点对称(即y=f(x)图象绕点旋转180度与g (x)图象重合):函数f(x)上任意一点(x,y)关于点(a,b)的对称点
(2a-x,2b-y)一定在函数y=g(x)上。
2、关于某直线对称(即y=f(x)的图象绕轴对称翻折后与g (x)图象重合):函数f(x)上任意一点(x,y)关于直线l对称的点一定在函数y=g(x)上。
问题一:函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点a(a,b)对称。
分析理解:y=2b-f(2a-x)即2b-y=f(2a-x),也就是说函数y=f(x)中x换成2a-x,y换成2b-y。
即满足定义。
下证点p′(a+b-x,a+b-y)一定在函数f(b-x)上,
设g(x)=f(b-x),则g(a+b-x)=f(x-a)=y,
(同理可证y=f(b-x)上任意一点的对称点一定在y=f(x-a)上) 区别记忆:f(a+x)=f(b-x) f(x)?
f(x+a)=f(b+x) f(x)?
y=f(x+a)与y=f(b-x)关于什么对称?
y=f(x+a)与y=f(x+b)说明什么?(t=|a-b|)
结论:两个函数时:x系数相同说明两函数具有平移关系,相反说明两函数对称。
对称关系充分体现了数学之美。
通过以上分析我们看到解决函数图象的对称性问题关键是数形之间的转化,体现了数形结合的数学思想,这样往往能更简捷地使问题得到解决。