dVo dt

Vin RC
Vo
dVo

Vin RC
Vo
dt
dVo
dt dt
dVo
Vin Vo RC RC Vin Uo
因：X’(导数)的=X=1，t的导数等于t，因Vin是常数，导数=0，所以 可以作为填补项
t
0
dt
uo
RC

0
d(Vin Vo) Vin Vo
所以一般情况电容在5个时间常数就认为它充满了。
电容放电公式：
Vout

Vin

1

t
e RC

Vout Vin 1 e 1
Vout Vin 0.632
如RC，电阻100R，电容100uF,那么: 充满需要0.01*5=50mS充满。 (注意这里的电容单位是法拉F,电阻为欧姆，时间是秒)
电容
电容的单位：(法拉)F，（毫法）mF，（微法）uF，纳法（nF）,皮法 （pF），
1F 103mF 106uF 109 nF 1012 pF
RC 电路时域分析
电容电压电流关系式： I
C
dv dt
R
I1
I2
+
C
Uo Uin
-
根据KCL: I1 I 2 0
I I2方向相反取负号： 1
I2

0
I1
I2
I1

Uin Uo R
I2

C
dv dt
I1
I2

Uin R
Uo
C
dv dt
Vin Vo R
C
dVo dt

R

Vin Vo C (ddVto )
RC

Vin Vo (ddVto )
RC
(ddVto ) Vin
Vo
T RC T 100 104 T 0.01S 10ms
放电时间：放完需要5个周期50ms放完。这是指同一RC中，充电时间
先来求下给电容充电到100%情况：（即V1*1），初始值V0还是0，
和放电时间总的一样。
Vout
V0
(Vin

VO
)

1

t
e RC


Vin Vin
t
e RC
Vo Vin
t
1 e RC

Vo Vin
t
1 e RC
Vo Vin
t
1 e RC
得到电容的时域方程为：
Vo Vin
t
1 e RC
RC 电路频率域分析
先给出RC频域关系式： I(s ) C S V
近100%的极限（无限接近100%）。
下面来看看周期性的变化根据公式：T=RC，为时间常数，那么e的次
数T，也就是一个周期，
T = RC，Vo = 0.632 × Vi,Vo Vi 1 e 1 0.632 Vi T = 2RC, Vo = 0.864 × Vi,Vo Vi 1 e 2 0.864 Vi T = 3RC, Vo = 0.950 × Vi,Vo Vi 1 e 3 0.950 Vi T = 4RC, Vo = 0.982 × Vi,Vo Vi 1 e 4 0.982 Vi T = 5RC, Vo = 0.993 × Vi,Vo Vi 1 e 5 0.993 Vi

代入公式将
Vt 5 (e 5 ) Vt 5 0.0067
电容充电100%即Vout Vin，V 0 0V为初始值,消掉
Vt 0.033V
Vin

1

t
e RC



Vout
Vin

Vin
e

t RC



Vout
Vin

Vin
e

t RC

Vout Vin Vin

e

t RC



t RC
InVoutVinVin
t RC InVoutVinVin
t

RC

In Vout
Vin Vin

t RC In(Vout Vin) In(Vin)
t RC In(Vin) In(Vin Vout )
t

RC

In( Vin
Vin Vout
)
那么最后结论，需要给电容完全冲满100%现实中是不可能的，只能接
RC 电路充电时间和电压分析
从前面推导出的电容时域关系式：（Vo=输出电压，Vin=输入电压）
Vo Vin
t
1 e RC
根据积分方程：可知V0为初始值，Vin为电源电压（即终值），Vt为t
时刻上的电压
Vout
V 0 (Vin

V
0)

1

t
e RC



当V0=0时为：
电容电压电流关系式：
I(t )

C
dv dt
I 电容时域关系式： (t )
C
d dt
V
又： S
d dt
I 那么： (s ) C
d dt
V
I(s ) C
S V
cs

I(s ) V(s )
1 cs

V(s ) I(s )
那么1/CS对应的是电压除以电流，在欧姆定律中我们把对应的 R=U/I，那么结果是一个电阻，上式中计算出来的叫容抗。
Vout
V 0 (Vin

V
0)

1

t
e RC

Vout

0 (Vin

0)
1

t
e RC



Vout

Vin

1

t
e RC



Vout Vin
t
1 e RC
推导时间t关系式：
Vout
Vin

1

t
e RC
In(0
Vin)


1 RC
t
In(Vo
Vin)
In(Vin )


1 RC
t
In(Vo
Vin)
In(Vin )


1 RC
t
Vo Vin Vin


1 RC
t

Vo Vin Vin
t
e RC
Vo Vin
Vin Vin
t
e RC

Vo Vin
uo d(Vin Vo) t dt
0
Vin Vo
0
RC
因：Inx’(求导)=1/X,n
Vo)
In(Vin
Vo)Vo 0

1 RC
t Vo 0
In(Vo
Vin)
Vo 0


1 RC
t
t 0
In(Vo
Vin)

Vout Vin

1

e
t RC
因Vout


Vin。
1

1
t
e RC


1
t
e RC


1



t
1 - 1 e RC
t
e RC

0

-
t RC
In0。
因In0

-。-
t RC

-

t RC

t RC
Vout