大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
一、填空（每小题5分，共20分）.
计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .
(2)设()
f x 在2x =连续，且2
()3
lim
2
x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x
t t f 2)1
1(lim )(+=∞→，则=')(t f .
(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .
（1）
2
1. (2) 3 . (3)t
e t 2)12(+ . (4)C x x +-2
ln ln 2. 二、（5分）计算
dxdy x
y D
⎰⎰-2
，其中
1010≤≤≤≤y x D ，：.
解：
dxdy x y D
⎰⎰
-2=
dxdy y x x y D )(2
1:2
-⎰⎰<+
⎰⎰
≥-2
2:2
)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2
210
-⎰⎰+dy x y dx x
)(1
2102⎰⎰- -------------4分
姓名：
身份证号
所在院校：
年级
专业
线
封
密
注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
=
30
11
-------------5分.
三、（10分）设)](sin[2
x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dx
y
d .
解：
)],(cos[)(2
22x f x f x dx
dy
'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22
222222222
2x f x f x x f x f x x f x f dx
y d '-''+'=-----7分
=
)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10
分.
四、（15分）已知3
1
23ln 0
=
-⋅⎰
dx e e a x x ，求a 的值. 解：
)23(232123ln 0
ln 0
x
a x a
x x e d e dx e e ---
=-⋅⎰⎰
---------3分 令t e x =-23，所以
dt t dx e e a
a
x x ⎰⎰
--
=-⋅231ln 0
2
123---------6分 =a t 231
2
33
2
21-⋅-------------7分
=]1)23([31
3--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31
，-----------12分
即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分
所以2
3
=a -------------15分.
五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e y
x ==1
的特解.
解：原方程可化为
x
e y x y x
=+'1-----------2分
这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-
C dx e x e e y dx
x x
dx x 11----------4分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e
x x x
ln ln ----------5分 =
[]
⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e x
x
+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1
C e x
y x +=.----------8分
再由条件e y
x ==1
，有C e e +=，即0=C ，-----------9分
因此，所求的特解是x
e y x
=.----------10分.
六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导
数，且123()()()f x f x f x ==，其中
123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

证：由于)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，所以)(x f 在],[21x x 上连续， 在),(21x x 内可导，再根据题意)()(21x f x f =，
身份证号：
所在院校：
年级：
专业：
线
封
密
由罗尔定理知至少存在一点∈1ξ),(21x x ，使)(1ξf '=0；--------3分 同理，在23[,]x x 上对函数)(x f 使用罗尔定理得至少存在一点),(322x x ∈ξ，使)(2ξf '=0；---------6分
对于函数)(x f '，由已知条件知)(x f '在[1ξ，2ξ]上连续，在（1ξ，2ξ）内可导，且)(1ξf '=)(2ξf '=0，由罗尔定理知至少存在一点∈ξ（1ξ，2ξ），使0)(=''ξf ，而1ξ，2ξ）),(31x x ⊂，故结论得证----------10分.
七、（15分）已知曲线，x
e y =x y sin =和直线
0=x ，1=x 围成平面图形D .
（1）求平面图形D 的面积A ；
（2）求D 绕x 轴旋转所成立体的体积.
解：（1）1
0(sin )x A e x dx =-⎰-----------2分
10(cos )x e x =+-----------4分 cos12e =+------------5分
（2）因为⎰=b
a x dx x f V )(2π，-----------6分
所以dx x e V x x )sin (1
22⎰-=π-----------9分
=1
20
111sin 2224x e x x π⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦------------11分
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--2sin 4121)1(212e π-----------13分
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+1)2sin 21(212e π .--------------15分.
八、（15分）设),,(z y x f u =有连续的一阶
偏导数，又函数 )(x y y =及)(x z z =分别由
身份证号：
所在院校：
年级：
专业：
线
封
密
下列两式确定：
2=-xy e xy 和dt t t e z
x x
⎰
-=0
sin ，求
du
dx
. 解：
dx
dz
z f dx dy y f x f dx du ⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=， （1）---------4分 由2=-xy e xy 两边对x 求导，得
)()(dx dy
x y dx dy x
y e xy +-+=0，--------------7分 即 x
y dx dy -= ---------------9分
又由dt t
t
e z x x ⎰-=0sin 两边对x 求导，得
)1()sin(dx dz z x z x e x -⋅--=，-----------11分
即 )
sin()(1z x z x e dx dz x ---= -----------13分 将其代入（1）式，得 ()1sin()x du f y f e x z f dx x x y x z z ⎡⎤∂∂-∂=-+-⎢⎥∂∂-∂⎣⎦.-----------15
分.
. .。