接下来可用“裂项相消 法”来求和。
例 3：求和
1 11
11
1+(1+2 )+(1+2 +4 )+… +(1+2 +4 +… +
解21n：-1)∵ an=1+1 2+1 4+… +21 n-1=1× （ 11 -2 1n）=2-21 n-1
∴ S n = ( 2 - - 2 1 0 ) + ( 2 - - 2 1 1 ) + ( 2 - - 1 2 1 -2 2) + … + ( 2 - - 2 1 n - 1 )
练习 3
求和：1+（1+2）+（1+2+22)+…+(1+2+22 +…+2n-1)
分析：利用“分解转化求和”
总结：
常见求和方法 直接求和 （公式法） 倒序求和 错项相减
裂项相消
分解转化法
适用范围及方法
等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。
等差数列的求和方法
数列{ anbn}的求和，其中{an} 是等差数列，{bn}是等比数列。 数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是关于n的一次函数 把。通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。
然后利用“错位相减法”求和.
例2：求和
1 1 1 1 S n = 2 × 5 + 5 × 8 + 8 × 1 1 + … + ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 )
解：∵数列的通项公式为
1 11 1 a n = ( 3 n - 1 ) ( 3 n + 2 ) = 3 ( 3 n - 1 - 3 n + 2 )
1 11 1 = 2 n - ( 2 0 + 2 1 + 2 2 + … + 2 n - 1 )
1 × （ 1 -2 1 n ） 1 = 2 n - 1 = 2 n + 2 n -1– 2
1 -
小结 3：
本题利用的是“分解转化求和法”
方法：
把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。
等差等比数列Байду номын сангаас和公式推导优 秀课件
练习: 求和 1. 1+2+3+……+n 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+……+2n 答案: Sn=2n+1-2
方法：直接求和法
例1 求数列 x, 2x2,3x3, … nxn，… 的前n项和。 解：⑴当x=0时 Sn=0
⑵当x=1时 Sn=1+2+3+…+ n=n(n+1)/2 ⑶当x≠1时
Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn
①
xSn= x2 +2x3+3x4… + (n-1)xn +nxn +1 ②
①－②得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1
化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
0
(x=0)
综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2
∴ S n = 1 3(1 2-1 5+ 1 5-1 8+ 1 8-1 1 1+ … + 3n 1 -41 11
3n -1+ 3n -1-3n + 2)
1 1 11 = 3 ( 2 - 3 n + 2 ) = 6 n + 4
小结2：
本题利用的是“裂项相消法”，此 法常用于形如{1/f(n)g(n)}的数列求和， 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。
(x=1)
x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)
(x≠1）
小结 1:
“错项相减法”求和,常应用于型 如{anbn}的数列求和,其中{an}为等 差数列, {bn} 为等比数列.
练习 1
求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/2n 方法: 可以将等式两边同时乘以2或1/2,
方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的项， 最后剩下有限的几项。
此方法应注意：对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。
练习 2： 求和
1
1
1×4 + 4×7
1 (3n-2)×(3n+1)
1 + 7×10
+…+
分析：a n = (3 n -2 )× 1 (3 n + 1 )= 1 3(3 n 1 -2-3 n 1 + 1)