高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何 综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1. 若非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则必有S a ∈-6，则所有满足上述条件的集合S 共有A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2. 命题P ：若函数()f x 有反函数，则()f x 为单调函数；命题Q ：111222a b c a b c == 是不等式21110a x b x c ++>与22220a x b x c ++>(121212a a b b c c ，，，，，均不为零)同解的充要条件，则以下是真命题的为A ．P ⌝且QB ．P 且QC ．P ⌝或QD ．P 或Q3. 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =A ．42B ．22 C ．41D ．21 4. 如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC ∆是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为A.B.32D. 3左视图主视图俯视图5. 已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线0223=+-y x 平行，若数列})(1{n f 的前n 项和为n S , 则2012S 的值为A ．20102009B ．20112010C ．20122011D ．201320126. 若m b a m a f 2)13()(-+-=，当]1,0[∈m 时，1)(≤a f 恒成立，则b a +的最大值为A ．31 B ．32 C ．35D ．37 7. 已知a 、b 是不共线的向量，()AB AC R λμλμ=+=+∈，，a b a b ，那么A B C 、、三点共线的充要条件为A ．1λμ=B ．1λμ=-C ．1=-μλD ．2λμ+=8. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9. 设函数()(sin cos )(02011),xf x e x x x π=-≤≤则函数()f x 的各极大值之和为A.20122(1)1e e e πππ－－ B. 1006(1)1e e e πππ－－C.10062(1)1e e e πππ－－ D.20102(1)1e e eπππ－－ 10. ()x f y =的定义域为R ，且()(),22x f x f -=+()()x f x f -=+77在[]7,0上只有()()031==f f ，则()x f 在]2012,2012[-上的零点个数为A ．403B ．402C ．806D ．80511. 函数()22x xf x -=-的反函数为)(1x f -，则使不等式1()2f x ->成立的x 的取值X 围为A ．15(,)4-+∞ B ．15[0,)4C ．15(,0)4-D ．15(,)4-∞- 12. 已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---≤⎩，关于方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的根的叙述有下列四个命题①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根；其中真命题的个数是A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13. 定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)y f x =-的图象关于)0,1(成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，ts的取值X 围．14. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若9,3,1341≤>>S a a ，设122,n n n n b a b b b =+++则的结果为．15. 已知正项数列{}n a )0*,(>∈n a N n 的前n 项和n S 满足：12+=n n a S ；设392+-=n n a b ，则数列{}n b 的前n 项和的最大值为___________．16. 如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知长方体1111ABCD A B C D -中，15,6,8AA AB AD ===该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈;（2）C α∈,则1,C O 两点间的最大距离为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本题满分10分）已知集合{}2150A x x px ⊆-+=，{}250B x x x q ⊆-+=，{}2,3,5A B =，{}3A B =，求集合A 和B .PABCC第20题图18. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,21=a ,点(1+n S ,n S )在直线n n y n nx +=+-2)1((*N n ∈)上.a1=2（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设,211-+=++n n n n n S S S S T 证明：.334321<++++≤n T T T T 19. （本题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-==代入③得 sin sin 2sin cos22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A BA B +--=-； (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos2cos21cos2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)20. （本题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，22,4======BC AB AC PC PB PA .（1）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； 的余弦值为322，（3）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角CPA M --求BM 的最小值.21. （本题满分12分）已知正数数列}{n a 和{}n b 满足：对任意n ，1,,n n n a b a +成等差数列，且总有1n a +=（1）判断数列是否为等差数列；（2）若1121,2,3,a b a ===求数列}{n a 和{}n b 的通项公式．22. （本题满分12分）已知函数x x x f 2)(2-=, )(x g 是R 上的奇函数，且当]0,(-∞∈x 时，2)()(x x f x g =+． （Ⅰ）求函数)(x g 在R 上的解析式；（Ⅱ）若函数+-=)()([)(x f x g x x h λ23]在),0(+∞上是增函数，且0≤λ，求λ的取值X 围．试题答案1-5BCBCD 6-10DABDD 11-12DA 13.1[,1]2-14. 12n n +⋅ 15. 190 16. 255+ 17. 由3A ∈，{}2150A x x px ⊆-+=，得8;p =…….3分由3B ∈，{}250B x x x q ⊆-+=，得 6.q =………….6分{}2,2,2,2,3A B A B B ∈∉∴∈∴=………….8分 {}3,3,3,5,3A B B A A ∈∉∴∈∴=……….10分18. 解：（I ）n n y n nx S S n n +=+-+21)1(),(在直线 上，,111=-+∴+nS n S nn …………………………………………1分 ∴{nS n}构成以S 1=a 1=2为首项，公差为1的等差数列， 分而时当分6*).(2,2,2)1()1(,24.,1)1(212212 N n n a a n n n n n S S a n n n S n n nS n n n n n n∈=∴==----+=-=≥+=∴+=⨯-+=∴- 证明：（II ）n n S n +=2.322123)]211()4121()311[(210).1(34,0)2(4,*8,22222122122221121<+-+-=+-++-+-=+++==≥+++∴>+=∈+-=-+++-=-+++=∴n n n n T T T n T T T T n n T N n n n n n n n n n T n n n n 又分时取等号时分∴原不等式成立.……………………………………………………………………12分19. 解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②…………………1分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③……………………2分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin22A B A BA B +--=-.………………………………5分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,…………………………………7分所以222sin sin sin A C B +=.…………………………………10分 设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ， 由正弦定理可得222a cb +=.………………………………11分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.…………………………………12分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2cos21cos2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，…………………………………7分因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=， 所以()()()2sin sin sinA B A B A B -+-=+.又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………11分所以ABC ∆为直角三角形. ………………………………12分20. (满分12分)解：（1）取AC 中点O,因为AP=BP ，所以OP ⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形， ∴OA=OB=OC,⊿POA ≌⊿POB ≌⊿POC,∴OP ⊥OB∴OP ⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中，∴平面ABC ⊥平面APC 4分 （2） 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0), C(0,2,0),P(0,0, 32), 5分 ∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(=-=-=→→→AP PB BC 设平面PBC 的法向量),,(1z y x n =，由0,011=•=•n n 得方程组⎩⎨⎧=-=+-0322022z x y x ，取)1,3,3(1=→n 6分∴ 721,cos 1>=<→→n AP ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为721。