学科教师辅导讲义学生签字：日期：教学内容1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋b i的模，即|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2.2．复数的几何意义3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.z1z2＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→讲义编号：年级：高三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课课题教学目标授课日期及时段知识梳理－OZ 1→.图4-4-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.(教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )图4-4-2A ．A B.BC ．CD.DB [共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(2016·四川高考)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．0 B.2 C.2iD.2＋2i C [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.]4．(2016·北京高考)复数1＋2i 2－i ＝( )A ．i B.1＋i C ．－iD.1－i A [法一：1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i5＝i.法二：1＋2i 2－i ＝i (1＋2i )i (2－i )＝i (1＋2i )2i ＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________． －1 [i(1＋i)＝－1＋i ，所以实部为－1.复数的有关概念(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则z|z|＝()A．1B．－1C.45＋35i D.45－35i(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.(1)D(2)－2[(1)∵z＝4＋3i，∴z＝4－3i，|z|＝42＋32＝5，∴z|z|＝4－3i5＝45－35i.(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋b i(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1](1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝i2＋i的虚部为()A．－15B．－25C.15 D.25(2)设z＝11＋i＋i，则|z|＝()A.12 B.22典例分析C.32D ．2(1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D. (2)z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]复数代数形式的四则运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i(2)(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b 的值为________． (1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度 (1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．[变式训练2] (1)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. (1)D (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·郑州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得z ×1－2(1＋i)＝0，则z ＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．A．1 B.2C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22D[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝|z2|，但z21＝4，z22＝－2＋23i，是假命题．]6．若i为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()图4-4-3 A．E B．FC．G D．HD[由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.]7．已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2019＝() A．1＋i B．1－iC ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2019＝1×(1－z 2020)1－z ＝1－i 20201－i ＝1－i 4×5051－i＝0.]二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i. ∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________.3 [∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.]1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数能力提升。