一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当0x bCOt(为参数，其中 (0,2 )e 且 y acsc以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。
6.抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 2 2px （p 0）的参数方程为2 x2a2b 21(ax b 0）,其参数方程为yacosbsin（为参数），其中参数 称为离心角; 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是2y 2a2x 2 1(a b 0),其参数方程为bbcosasin为参数）,其中参数 仍为离心角，通常规定参数的范围为 € [0 ,相应地也有02，在其他象限内类似。
5.双曲线的参数方程 以坐标原点（不要求掌握） O为中心，焦 占八轴上的双曲线的标准方程为2 x2 2a b 匸1(a0,b 0）,其参数x asec(为参数),其中 y bta n[0,2 )且2'焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是2 y 2a2x b 2 1（a 0,b 0）,其参数方程为y y tan (x X o ),而过M o (X 0,y o ),倾斜角为 的直线I 的参数方程为注：直线参数方程中参数的几何意义： 过定点M 0(x ),y 0)，倾斜角为X x 0 t cos的直线I 的参数方程为(t 为参数)，其中t 表示直线I 上以y y o tsin定点叫为起点，任一点 M(x,y)为终点的有向线段的数量，当点在 M 上方时，t >0；当点M 在凶0下方时，t v 0；当点M 与M o 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以M o 为原点，直线I 向上的方向为正方向的数 轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
、题型探究探究一：把参数方程化为普通方程(1 )化G, C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;的距离的最小值。
G 为圆心是(-4 , 3),半径是1的圆。
G 为中心是坐标原点，焦点在 上‘轴上，长半轴长是 8,短半轴长是3的椭圆。
W3I = — © 丿 m - 6M(-2 十十一sin 的(H)当 2时，尸(-44)一0隔匚帖&3过刃，故 2C 3为直线x-2y-7=0 , M 到G 的距离7.直线的参数方程经过点M 0(X o ,y 。
)，倾斜角为 (丿的直线1的普通方程是X X t cos y y o tsin例1 :已知曲线C :W 嚟化为參数)C 2： fx = BcosO（y = S^inO为參数)(2)若C i 上的点P 对应的参数为Q 为C 2上的动点，求 PQ 中点M 到直线解答：（I ） C 1+ •=1,C 2 :2 2x y +64 9探究二：椭圆参数方程的应用例2:在平面直角坐标系xoy 中，点p(x,y)是椭圆3十歹 1的最大值故可设动点 P 的坐标为(「：；＞；一'.川匸)，其中-1--匚：因此，s=x+y=C ：g'环:+ ''0 +=2si n()所以，当探究三：直线参数方程的应用例3:过点•”. 作倾斜角为上的直线与曲线•亠甘 丄交于点M,N, 求|PM||PN|的最小值及相应的*買=冷2 y%仙药逾解析：设直线为 卜-门血业 ，代入曲线并整理得3■n咖 + (V10 tPsaX + -=0|磁| 犁=|花 | 二一尸戈，则 ......................... l-Fsm 3^所以当川「二1时，即 探究四：圆的参数方程的应用30 二 L 0 = r 5 ,sin 5从而cos 时,d 取得最小值 3u =-4，此时 2上的一个动点，求s=x+y解答:2X 2 —+ y= 1 因椭圆的参数方程为工盘叫0於数)的值。
X = 2 4- -/2 EOJ H V— Vi siTk it* 例4:已知曲线C 的参数方程是 相交于两点A B(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求弦AB 的垂直平分线的方程(3)求弦AB 的长Jt - 2 = -J2 GMi^1_ _f- , q no -纣十h =£』m3tn 存'为参数)，且曲线C 与直线 • =0解答：(1)由L所以，曲线C 的普通方程为(x — 2) 2+y 2=2 O'，|PM| |PN|的最小值为, 梧-(2 )因为-，所以AB 的垂直平分线斜率为:. 又垂直平分线过圆心(2, 0),所以其方程为(3) 圆心到直线 AB 的距离-一二三一；，圆的半径为r= 所以 T - I - 二二一 探究五：参数方程的综合应用x+y 的最值，例6: 过点(2,1)的直线被圆 x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________ ;截得的最短弦所在的直线方程是 ______________ ;例7:若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0 ,则x-2y 的最大值为 ____________________已知点P ( x ，y )是圆x 2 y 2 6x 4y 12 0 上动点,(1) 2 2x y 的最值,(3) P 到直线x+y-仁0 的距离d 的最值。
x 2y 26x 4y 120 即(x2 23) (y 2)1 , 用参数方程表示为{:3 cos 2 sin由于点P 在圆上，所以可设 P (3+cos 0, 2+sin 0), (1) x 2 y 2(3 cos )2 (2 sin )214 4 si n 6 cos14 2.13 sin()(其中tan=1.5)••• x 2y 2的最大值为14+2 5 -,最小值为14- 2⑵ x+y= 3+cos值为5 - J ：0 + 2+s in 0 =5+ 2 sin ()• x+y 的最大值为 5+ ■--，最小显然当sin ((3)时，d 取最大值，最小值，分别为 1 2 2 , 1 2 2 .四、反思感悟五、课时作业一、选择题1若直线的参数方程为x 1 2ty 2列为参数），则直线的斜率为（D）223A .B . C—D3322.下列在曲线3.将参数方程A.4、A. 方程一个定点二、填空题x 5.直线y x si n2y cos（为参数）上的点是（B ）sin2 sin2.2sin2(24tx3)2ty 5t2C . (2, . 3)D . (1^3)为参数）化为普通方程为（C• 一个椭圆2(0 y 1)0 （t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D） C .一条抛物线 D .一条直线4t（t为参数）的斜率为5tt tx e e6 •参数方程t t 仇为参数）的普通方程为_________________________ 。
y 2（e t e t）x 1 3t7 •已知直线 h ：（t 为参数）与直线l 2 ：2x 4y 5相交于点 B ，又点y 2 4tA （1,2），则 AB _0.5__x 2 cos. ------- , ----------- 丁8、已知.（为参数），则（x 5） （y 4）的最大值是6。
y sin-x cosy 2 2y 的一个参数方程为（为参数）y 1 sin2%会癞被圆x 2 y 2 4截得的弦长为 両2（t 为参数）1 S2三、解答题11. （ 2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4 — 4;坐标系与参数方程x = 2cos 6已知曲线C 的参数方程是y = 3sm （ 6为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是 p =2.正方形ABCD 的顶点都n在C 上，且A B 、C 、D 以逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2 ,—）.（I ）求点A B C 、D 的直角坐标;（n ）设P 为G 上任意一点，求|PA| 2+ |PB| 2 + |PC| 2+ |PD| 2的取值范围。
5 4（23）解：（I ）依题意，点A , B , C , D 的极坐标分别为（2, ）、（2, 5 ）、（2, 4）、9.曲线x 210 .直线x3 6 311⑵6).所以点A, B , C , D的直角坐标分别为（1, 3）、（3,1）、（ 1, 3）、（ 3, 1）；2 2 2 2(n)设P 2cos ,3sin ，则| PA | | PB | | PC | | PD |=(l-2cos0『—3sin°) +(—>/J_2cos0)+1 l-3sin (p\ +(-l-2cos°f + (—曲一3sin®) +(右一2cos0)+(-l-3sin=16cos2 0+36sin' 0+16 = 32 + 20sin2 0G [32,52].所以\PA\2 ^\PB\2+ PC|24|J3Z)|2^ 取值范圏为[32,52。