北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章 集合与函数概念 知识架构第一讲 集合 ★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 文字语言符号语言 属于不属于4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集整数集 有理数集 实数集 复数集 符号*N 或+N 二： 集合间的基本关系表示关系文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素都相同 B A ⊆且A ⊆B ⇔子集 A 中任意一元素均为B 中的元素 B A ⊆或A B ⊇真子集 A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A ⊆φ，φB （φ≠B ）三：集合的基本运算①两个集合的交集:AB = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且交并 补 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补集 函数函数 及其表示 函数基本性质 单调性与最值 函数的概念 函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射映射的概念 集合与函数概念方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（ ） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2[错解]误以为集合M 表示椭圆14922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B[正解] C ； 显然{}33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ⑤B A A B A ⊆⇔= ；（2）并集：①A B B A =；②A A A = ；③A A =φ ；④A B A ⊇ ，B B A ⊇ ⑤A B A B A ⊆⇔= ；（3）交、并、补集的关系①φ=A C A U ；U A C A U =②)()()(B C A C B A C U U U =；)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素[解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

题型2：集合间的基本关系[例2]．数集{}Z n n X ∈+=,)12(π与{}Z k k Y ∈±=,)14(π之的关系是（ ）A ．X Y ；B ．Y X ；C ．Y X =；D ．Y X ≠[解题思路]可有两种思路：一是将X 和Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。

[解析] 从题意看，数集X 与Y 之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能； 同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。

[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）A ．B A ⊆ B.C B ⊆ C.C B A = D. A C B =[解析] D ；因为全集为A ，而C B =全集=A2．(2006•山东改编）定义集合运算:{}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22,设集合{}1,0A =,{}3,2=B ,则集合B ⊗A 的所有元素之和为[解析]18，根据B ⊗A 的定义，得到{}12,6,0A =⊗B ，故B ⊗A 的所有元素之和为183．(2007·湖北改编）设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于[解析] {}31<<x x ；因为{})3,0(1log 3=<=x x P ，{})1,1(1-=<=x x Q ，所以4．研究集合{}42-==x y x A ，{}42-==x y y B ，{}4),(2-==x y y x C 之间的关系[解析] A 与C ，B 与C 都无包含关系，而B A ；因为{}42-==x y x A 表示 42-=x y 的定义域，故R A =；{}42-==x y y B 表示函数42-=x y 的值域，),4[+∞-=B ；{}4),(2-==x y y x C 表示曲线42-=x y 上的点集，可见，BA ，而A 与C ，B 与C 都无包含关系考点二：集合的基本运算[例3] 设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B（1） 若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A ，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。

[解析]因为{}{}2,10232==+-=x x x A ， （1）由{}2=B A 知，B ∈2，从而得0)5()1(4222=-+++a a ，即 0342=++a a ，解得1-=a 或3-=a当1-=a 时，{}⎣⎦2,2042-==-=x x B ，满足条件；当3-=a 时，{}{}20442==+-=x x x B ，满足条件 所以1-=a 或3-=a（2）对于集合B ，由)3(8)5(4)1(422+=--+=∆a a a因为A B A = ，所以A B ⊆①当0<∆，即3-<a 时，φ=B ，满足条件；②当0=∆，即3-=a 时，{}2=B ，满足条件； ③当0>∆，即3->a 时，{}2,1==A B 才能满足条件，由根与系数的关系得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=⨯+-=+725521)1(22122a a a a ，矛盾 故实数a 的取值范围是3-≤a【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。

同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.[新题导练]6．若集合{}R x y y S x ∈==,3，{}R x x y y T ∈-==,12，则T S 是（ ）A. S ；B. T ；C.φ；D. 有限集[解析] A ；由题意知，集合{}R x y y S x ∈==,3表示函数R x y x ∈=,3的值域，故 集合),0(+∞=S ；{}R x x y y T ∈-==,12表示函数R x x y ∈-=,12的值域， ),1[+∞-=T ，故S T S =7．已知集合{}2),(=+=y x y x M ，{}4),(=-=y x y x N ，那么集合N M 为（ ）A.1,3-==y x ；B.)1,3(-；C.{}1,3-；D.{})1,3(-[解析]D ；N M 表示直线2=+y x 与直线4=-y x 的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。

8．集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值. [解析] 10,1,2；先化简B 得, {}1,2B =.由于A B B =A B ⇔⊆,故1A ∈或2A ∈. 因此10a -=或210a -=,解得1a =或12a =. 容易漏掉的一种情况是: ∅=A 的情形,此时0a =.故所求实数a 的值为10,1,2. 备选例题1：已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则N M 中的元素个数是（ ）A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个[解析]选A;集合M 表示函数1+=x y 的值域,是数集,并且R M =,而集合N 表示满足 122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆122=+y x 上的点,是点集。

所以，集合M 与集合N 中的元素均不相同，因而φ=N M ，故其中元素的个数为0[误区分析]在解答过程中易出现直线1+=x y 与圆122=+y x 有两个交点误选C ；或者误认为1+=x y 中R y ∈，而122=+y x 中11≤≤-y ，从而]1,1[-=N M 有无穷多个解而选D 。