得分
四、解答题（ 8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f ( x)
x2 , x为无理数 ，则 f (x) 在 0,1 上是否 R 可积，
1, x为有理数
是否 L 可积，若可积，求出积分值。
2、（8分）求 lim
ln( x
n) e
x
cosxdx
n0
n
（第 4 页，共 19 页）
得分
五、证明题（ 6 分× 4+10=34 分） .
mE 0时，对 E上任意的实函数 f ( x)都有 f (x)dx 0 …5 分
E
四、 1． f (x) 在 0,1 上不是 R 可积的，因为 f ( x) 仅在 x 1 处连续，即不连续点为
正测度集 ……………………………………… ..3 分
（第 7 页，共 19 页）
因为 f (x) 是有界可测函数， f ( x) 在 0,1 上是 L 可积的 …6 分
例如：设 E 是 a, b 上的不可测集， f ( x)
x, x E; x, x a, b E;
则 | f (x) 上 的 可 测 函
数 ……………………………………………………………… ..5 分 4．错误 ………………………………………………………… 2 分
2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（
）
（ A） P c (B)
mP 0 (C) P ' P (D) P P
3、下列说法不正确的是（
）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（ B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设 f n( x) 是 E 上的 a.e. 有限的可测函数列 , 则下面不成立的是 ( )
（A）若 f n( x) f ( x) , 则 fn ( x) f ( x) (B)
（C） inf n
fn ( x) 是可测函数 ; （D）若 fn ( x)
sup fn (x) 是可测函数
n
f ( x) ,则 f ( x) 可测
5、设 f(x) 是 [ a, b] 上有界变差函数，则下面不成立的是（
因为 f (x) 与 x2 a.e. 相等，进一步，
f ( x) dx
1
x2dx
1 …8 分
0,1
0
3
2．解：设 f n( x)
ln( x
n) e
x cosx ，则易知当
得分
三、下列命题是否成立 ?若成立 , 则证明之 ; 若不成立 , 则举
反例说明 . (5 分× 4=20 分)
1、设 E R1，若 E 是稠密集，则 CE 是无处稠密集。
2、若 mE 0 ，则 E 一定是可数集 . 3、若 | f (x) | 是可测函数，则 f ( x) 必是可测函数。
4．设 f ( x) 在可测集 E 上可积分，若 x E, f ( x) 0 ，则 f ( x) 0 E （第 3 页，共 19 页）
（第 6 页，共 19 页）
试卷一 答案：
试卷一 （ 参考答案及评分标准）
一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D
二、 1．
2、 0,1 ；
； 0,1 3、 m*T m* (T E ) m* (T CE)
n
4、充要 5、 | f (xi ) f (xi 1) | 成一有界数集。
i1
三、 1．错误 …………………………………………………… 2 分
）
(A) f ( x) 在 [ a,b] 上有界 (B) f (x) 在 [ a,b] 上几乎处处存在导数
b
（ C） f ' ( x) 在 [ a,b] 上 L 可积 (D)
f '(x)dx f (b) f (a)
a
得分
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、 (Cs A Cs B) ( A ( A B)) _________
1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c .
2 、（ 6 分 ） 设 f ( x) 是 , a, E { x | f ( x) a} 是闭集。
上的实 值连续函数， 则对 于任意 常数
3、（6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为两个增函数之差。
（第 5 页，共 19 页）
o
2、设 E 是 0,1 上有理点全体，则 E ' =______,E =______, E =______. 3 、 设 E 是 Rn 中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集 T 都 有
（第 2 页，共 19 页）
________________________________，_ 则称 E 是 L 可测的 4、 f ( x) 可测的 ________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数 .
例如：设 E 是 0,1 上有理点全体，则 E 和 CE 都在 0,1 中稠密
……………………… ..5 分 2．错误 ………………………………………………………… 2 分
例如：设 E 是 Cantor 集，则 mE 0 ，但 E c ， 故其为不可数集
……………………… .5 分 3．错误 ………………………………………………………… 2 分
4、（6 分）设 mE
, f ( x) 在 E 上可积， en
E(| f |
n) ，则
lim n n
men
0.
5、（10分）设 f ( x) 是 E 上 a.e. 有限的函数，若对任意
0 ，存在闭子集
F E ，使 f (x) 在 F 上连续，且 m( E F ) 函数。 (鲁津定理的逆定理 )
，证明： f ( x) 是 E 上的可测
（填“充分”，“必要”，“充要”） 5 、 设 f ( x) 为 a, b 上 的 有 限 函 数 ， 如 果 对 于 a, b 的 一 切 分 划 ， 使
____________________________________________________则_,称 f (x)
为 a, b 上的有界变差函数。
《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案
试卷一：
得分
一、单项选择题（ 3 分× 5=15 分）
1、 1、下列各式正确的是（
）
（ A） lim An
Ak ; （B） lim An
Ak ;
n
n 1k n
n
n 1k n
（
C
）
lim
n
An
n 1 k n Ak ;
（ D） lim An n
n 1 k n Ak ;