XT
Z
P
Z
O X
X
Y Y
YT
R( ) R( Z )R(Y )R( X )
cosY cos Z cosY sin Z
sinY
cos X sin Z sin X sinY cos Z cos X cos Z sin X sinY sin Z
sin X cosY
sin X sin Z cos X sinY cos Z
Zi
T
Z0 Zi
Yi X i
0 Z Zi
（此即用于两空间直角坐标系相互变换的布尔莎七参数公式）
若上式中X＝Y＝0，Z≠0，则上式为五参数转换模型。若再有Z＝0，则上式为 四参数转换模型。若尺度比参数亦为零，则得三参数转换模型
X i X0 X i
Yi Y0 Yi
A1C
da d
A1
X 0 Y0 Z0
A1dKB
A1QB
A1C
da d
上式中
X ( N H )cos B cos L
B Y ( N H )cos B sin L
Z [N (1 e2 ) H ]sin B
N a 1 e2 sin2 B
当根据多个公共点按最小二乘法求解转换参数时，对每个点有观测方程
X 0 Y0
XTi X i 1 0 0 X i
0
Zi
Yi
Z
0
YTi ZTi
Yi Zi
0 0
1 0
0 1
Yi Zi
Zi Yi
0 Xi
X i d K
0
X
设
Y Z
X0 Y0
XTi X i
VX BYˆ LX
BT PBYˆ BT PLX 0
2 0
V T PV 3n 7
( 式中权阵 PLX (ΣT Σ)1 )
二、不同大地坐标系间的换算
不同大地坐标系间的换算除了具有原点平移、欧勒角、尺度比七个转换参数，还 有两个系统采用不同椭球产生的两个地球椭球转换参数。不同大地坐标系统的换算 公式又称大地坐标微分公式。介绍大地坐标换算的布尔莎公式如下。
Zi
T
Z0 Zi
三参数转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，即轴系间不存在欧勒
角的条件下导出的，这在实际情况中往往是不可能的。在欧勒角不大，求得欧勒角
误差和欧勒角本身数值属同一数量级时，可以近似地这样处置。此种情况在国内外
一些坐标换算中屡见不鲜，如北美坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0=-22m，Y0 ＝157m，Z0=176；欧洲坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0＝-84m，Y0＝-103m， Z0＝-127m等。我国地心坐标系转换参数（DX-1）也属三个转换参数。
X，Y，Z是B，L，H，a， 的函数，全微分有
顾及到 有
dX dY dZ
A
dB dL dH
C
da
d
0 Z Y X i 0 Zi Yi X
QXi Z 0 X Yi Zi 0 X i Y
Y X 0 Zi Yi X i
0 Z
dB dX
sin X cos Z cos X sinY sin Z
cos X cosY
当已知转换参数⊿X0、dK、R( )时，可按上式将Pi点的X坐标系坐标换算为XT坐 标系的坐标。
按最小二乘原则求解转换参数⊿X0、dK、R( )如下。 因旋转角 很小，有sin 和cos1，若忽略 二阶微小量，则旋转阵
LX i
YTi ZTi
Zi
1 0 0 X i 0 Zi Yi
Bi 0 1 0 Yi Zi 0 X i
0 0 1 Zi Yi X i
0
Z
0
Y dK
X
LX LX1
LX2
LT X n
B B1 B2 Bn T
Y Z
则误差方程 法方程 单位权方差
dL dH
A1 dY
dZ
A1C
da d
A1
X Y Z
T
A1
X Y Z
A1C
da d
X 0
X
0
A1 Y0 A1 Y dK A1 Zi
Z0
Z
Yi
Zi 0 Xi
Yi X
0
i
X Y Z
A1
X Y Z
A1
X Y Z
顾及
0 Z Y X i 0 Zi Yi X
QXi Z 0 X Yi Zi 0 X i Y
Y X
0
Zi
Yi
Xi
0 Z
则（10-28）式为
X i X0 X i
0 Zi Yi X X i
Yi Y0 Yi d K Zi 0 X i Y Yi
参心大地 坐标系
天文 坐标系
割平面空间 直角坐标系
法线测量 坐标系
垂线测量 坐标系
导弹发射 坐标系
一、不同空间直角坐标系的换算
平面直角坐标
投影平面
高斯平面 直角坐标系
参心←→参心空间直角坐标系间（如：克氏椭球←→IAG75椭球） 参心←→地心空间直角坐标系间（如：克氏或IAG75椭球←→WGS-84椭球） 三个变换公式（布尔莎、范士、莫洛金斯基）对于坐标换算而言等价，推导布
1 Z Y 1 0 0 0 Z Y R( ) Z 1 X 0 1 0 Z 0 X E Q
Y X 1 0 0 1 Y X 0
代入（10-28）式，忽略二阶微小量dKQXi得 XTi＝⊿X0＋R()dKXi＋R()Xi ＝⊿X0＋(E＋Q)dKXi＋(E＋Q)Xi ＝⊿X0＋dKXi＋Xi＋QXi
尔莎公式如下：
如图所示，Pi在不同坐标系中的坐标
XT＝⊿X0＋(1＋dK)R( )X
（10-28）
式中 XT——Pi在坐标系OT —XTYTZT中的坐标向量
ZT
X——Pi在坐标系O —XYZ中的坐标向量
⊿X0——原点平移向量，⊿X0＝(⊿X ⊿Y ⊿Z)T
dK——尺度变化系数
OT
R( )——旋转矩阵
第十章 坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统
表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
坐标系 中心
地心 参心 站心
地心空间 直角坐标系
参心空间 直角坐标系
参 考 总地球椭球 参考椭球 大地体 面
地心大地 坐标系