T
0
T 为记录时长或截断区间 。
若将加速度波形离散成 N 个点 ,则
2
N -1
X ( t ) =
n =0
∑( a cos nwt + b sin nwt )
n n
( 3)
式中 a n =
bn =
2
N
N- 1
K=0
∑X ( t
N- 1 K=0
K)
cos sin
2πKn
N
2
N
∑X ( t
K)
2πKn
FFT 程序进行傅里叶变换从而得到 Cn 值 , 根据 ( 5) 、
图1 钢轨的实测水平振动加速度波形及其功率谱
( 6) 式可求出 a n 、 bn 值 , 这样就确定了轨道振动加速度
的模拟公式 ( 3) 。
3 列车激振荷载的模拟
3. 1 列车横向激振荷载的模拟 3. 1. 1 模拟轮系横向振动运动方程及其解
振 动 与 冲 击 2000 年第 19 卷 70
各对应频率项的响应相加得出[6 ] :
N
m2 ¨ y r + ky r + cy r = - m2 ¨ y0 若¨ y 0 为输入 , y r 为输出 , 则传递函数 Hy 为
871 条记录 。经现场测试列车运动速度约为 70 公里/
( 1) n = 0 , 1 , …, N - 1 用 HP3562A 分析仪进行分析处理时 ,将它设置在 时间捕捉 ( time capture ) 工况下 , 每次采样对信号离散 采集 2048 个 数 据 点 。若 选 择 最 高 有 效 频 率 f d =
作用在轨道结构的横 向力是由车辆在弯道上行 驶和车辆对轨道横向不平 顺响应产生的 。横向 力 的 大小决定于轨道横向不平 顺的大小和形状 、 车辆速度 以及轨道和车辆特 性 。为 简化起见 , 只分析一个转向 架的一侧 , 将列车车辆横向 振动系统简化为如图 3 所 图3 列车横向振动模型 示的单自由度模型 , 这个轮 系以速度在不平顺的轨道上行驶 , 轮轨间相互作用力 为 P1 ( t ) ,模型中各参数如下 m1 = 1. 735kNs2 / m ; m2 = 10. 837kNs2 / m ; k1 = 2070kN/ m2 ; c1 = 1429kNs/ m 。 在图 4 所示的坐标下 ,模拟轮系的运动平衡方程 为 ( 7) m2 ¨ x 1 + k 1 ( x 1 - x 0 ) + c1 ( x 1 - x 0 ) = 0 设绝对位移 x r = x 1 - x 0 , 上式变为 m2 ¨ x r + k 1 x r + c1 ¨ x r = - m2 ¨ x0
K=0
∑X ( t
( cos
2πKn
- j sin
2πKn
N
1 ( a n - jbn ) 2 2
- 1 N
其中 a n = c n + c n n = 0 , 1 , …
( 5) - 1 ( 6)
bn = j ( c n - c n ) n = 0 , 1 , …
2
式中 c n 是 c n 的共扼复数 。 对钢轨振动加速度波形进行离散采样 ,然后应用
- m2 - mw + ic1 w + k1
2
图2 钢轨的实测竖向振动加速度波形及其功率谱
∞
X ( t ) = 其中 a n =
bn =
n =0
∑( a cos nwt + b sin nwt )
n n
( 2)
2
T
∫ 2 X ( t ) sin nwt dt T∫
0
T
X ( t ) cos nwt dt

第 3 期 张玉娥等 : 地铁列车振动对隧道结构激振荷载的模拟 69
Cn =
1
N
N- 1
1
N
N- 1
K=0
∑X ( t
K)
K)
exp ( - j
N
2πKn
N
) = ) = ( 4) N
型动态信号处理仪进行处理 , 将模拟信号变换为数字 信号 。由于列车振动荷载受载重 、 车速 、 钢轨踏面及 其它细节情况的影响 , 所以从总体看由列车动荷载所 引起的钢轨 、 衬砌及周围介质的振动属于随机振动 , 一般认为是一个具有零均值的平稳各态历经的高斯 过程 ,但对某次测试由于载重 、 车速及轨道等主要情 况的确定性 , 为讨论方便 , 把测试所得的振动信号近 似作为周期性振动的组合来处理 , 这样可用下述傅里 叶变换进行频谱分析 。 在有限多个离散数据 X ( t k ) ( k = 1 ,2 , …,N) 的基 础上可以离散傅里叶变换进行频谱分析 , 其中傅里叶 正变换为 Cn =
小时 。本文只介绍模拟列车振动荷载中所用到的钢 轨加速度的测试与信号处理 。现场测试中在轨底和 轨腰处安置 Y D- 1或 Y D - 11 型加速度计 , 振动信号 经放大由 SR - 50 型磁带记录仪记录下来 , 然后在试 验室回放 ,直接输入到美国 HP 公司生产的 HP3562A
Ξ 收稿日期 :1999 - 06 - 22 修改稿收到日期 :1999 - 09 - 14 第一作者 张玉娥 女 ,硕士 ,讲师 ,1965 年 2 月生 。
( 12)
忽略轮轨间竖向的弹跳作用 , ¨ y 0 便等于钢轨竖向
2
N -1
¨ y0 = X ( t) = 同理可得
2
N -1
n =0
∑( a cos nwt + b sin nwt )
n n
( 18)
( 11) 式确定 。 式中 x 0 、 x r 由 ( 10) 、 假设 P1 ( t ) 经钢轨传至道床上成为沿轨道均布 的线荷载 ,则列车振动对隧道结构的横向激振荷载为
图4 地铁列车横向振动荷载时程曲线图
3. 2 列车竖向激振荷载的模拟
北京地铁列车车辆通 常车体重心在纵向和横向 都是对称的 , 可以只分析一 个转向架的一侧 , 其竖向振 动简化模拟轮系如图 5 所 示的单自由度模型 。这 个 轮系以速度 V 在不平顺的 轨道上行驶 , 轮轨间相互作 用力为 P2 ( t ) , 模型中的各 参数如下 图5 列车竖向振动模型 m1 = 1. 735kNs2 / m ; m2 = 10. 837kNs2 / m ; k = 2500kN/ m ; c = 245. 8kNs/ m 。 在图 5 所示的坐标下 ,竖向模拟轮系的运动平衡 方程为 ( 15) m2 ¨ y 1 + k ( y1 - y0 ) + c ( y 1 - y 0 ) = 0 设绝对位移 y r = y1 - y0 ,则上式变为
2 轨道振动加速度的数定表达式
现场试验得到的轨道加速度波形 ,其表达式是未 知的 ,由于它是一个具有零均值的平稳高斯过程 , 可 以看成是一系列谐波的迭加 , 即可以用傅里叶级数表 示
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N
( 8)
N n = 0 ,1 , …, - 1 2 基频 w = 2π / N △t , △t 为采样时间间隔 ; t K 为时
¨ x 0 作为输入 , x r 作为输出时 , Hx 为传递函数 , 则有 : Hx =
( 9)
站 K 对应的时间 。 对于 ( 1) 式 , 其结果对于 n = N/ 2 点是对称的 , 即 变换的实部是关于 n = N/ 2 的偶函数 , 变换的虚部是 关于 n = N/ 2 的奇函数 , 对于 n > N/ 2 的那些结果只 是负频率的结果 , 为简化明了 , 可只取变换的一半 , 即
625Hz ,则该仪器每次采样时长 : T = 800/ 625 = 1. 28s ,
即为窗宽 。10 次采样共 12. 8s ,式中 “800” 为该仪器的 固定 值 , 因 此 采 样 时 间 间 隔 △t = 1. 28/ 2048 = 0. 000625s ,对应的奈奎斯特频率 f c = 1/ 2 △ t = 800Hz. 然 后选定 Hanning 窗函数 , 对所记录信号进行处理 。绘 出轨道两个方向振动加速度波形及其功率谱如图 1 、 图 2 所示 。
y r ( t ) =
n =0
∑H ( a cos nwt + b sin nwt )
y n n
( 19)
F1 ( t ) =
n P1 ( t ) ( 13) ・K ( kN/ m) L 式中 n 为车体转向架数 ; L 为列车长度 ; K 为修正
图 5 所示的模拟轮系 ,据达兰贝尔原理可以得到轮轨 间的相互作用力 P2 ( t ) 为 P2 ( t ) = ( m1 + m2 ) g + m1 ¨ y 0 + m2 ( ¨ yr + ¨ y 0)
( 11) - m2 - m2 w + icw + k
2
( 16)
2
-1
x r ( t ) =
n =0
∑
Hx ( a ncos nwt + bn sin nwt )
3. 1. 2 列车横向激振荷载的数定表达式
Hy = 加速度 ,即
( 17)
对图 3 所示的模拟轮系 ,根据达兰贝尔原理可以 得到轮轨间的相互作用力 P1 ( t ) 为 P1 ( t ) = m1 ¨ x 0 + m2 ¨ x 1 = m1 ¨ x 0 + m2 ( ¨ xr + ¨ x 0) = ( m1 + m2 ) ¨ x 0 + m2 ¨ xr
忽略轮轨间横向的摩擦力不计 ,则 ¨ x 0 便等于钢轨 横向加速度 ,=