概率论习题册答案第一章 随机事件及其概率§1.1 样本空间与随机事件一、计算下列各题1.写出下列随机实验样本空间：(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ；（3）},,,,,,{RW B W B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。

2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。

解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++3．下面各式说明什么包含关系？(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ⊂； （2）B A ⊃； （3）C B A +⊃4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令i A 表示“第i 个开关闭合”, 6,5,4,3,2,1=i ，试用621, , ,A A A 表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

系统Ⅰ 系统 Ⅱ1 523 1 2 34 1L 4 1R 2L 6 2R解 (1) 4321A A A A ++ (2) 526436432151A A A A A A A A A A A A +++。

§1.2 事件的频率与概率一．填空题1．设事件B A ,的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB 的概率=)(AB P 0 ； 2．设随机事件B A ,及其和事件B A +的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B 表示B 对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P 0.3 ；3. 已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,(1) 当A ,B 互不相容时, P (A+B )== 0.7; P(AB )= 0 . (2) 当B +A 时, P(A+B )== 0.4 ; P (AB )= 0.3 ；4. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=+)(B A P 1;=)(B A P ;)(B A P +=1αγ-+。

二、选择题1. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则（C ） （A ）A 和B 不相容； （B ）AB 是不可能事件； （C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A )=0或P(B )=0.2. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P (C ) (A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-; （C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.3. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ） (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A).4. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（B ）()()()()1;()()()()1;()()(); ()()().A P C P A PB B PC P A P B C P C P ABD P C P A B ≤+-≥+-==+三、计算下列各题1. 已知161)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求事件C B A ,,全不发生的概率。

8381431)]()()()()()()([1 )(1)()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 报纸分别表示读甲，乙，丙，，设C B A35.002.004.005.008.014.016.02.0)()()()()()()()(=+---++=+---++=++ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示军火库爆炸这个事件，则P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、证明题试证）（）（）（）（AB P B P A P B A B A P 2-+=+.证)()()()() A B P B A P B A B A P B A P B A P B A B A P -+-=-+=+（）（ )(2)()()()()()( AB P B P A P AB P B P AB P A P -+=-+-= 。

§1.3 古典概型与几何概型一、填空题1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为121； 2．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概率是 n N m n M n m M C C C /-- ；3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 0.68 ； 5. 将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 1/1260 ；6.在区间()0,1中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34。

二、选择题1. 奖券中含有m 有奖的，k 个人购买，每人一，其中至少有一人中奖的概率是（B ）(A) k n C m ; (B) k n k m n C C --1; (C) k n k mn m C C C 11-- ; (D) ∑=kr k nr m C C 1.2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B ）1113 ; () ; () ; ().3244A B C D （） 三、计算下列各题1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

解 （1） ;4528210281==C C p 451)2(210222==C C p.454445111 (4) ;4516)3(2421012183=-=-===p p C C C p 2. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。

解 .421!10!5!6=⨯=p 所求概率 3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？解 ;7171)1(881⎪⎭⎫⎝⎛==p;7676)2(8882⎪⎭⎫⎝⎛==p 83811(3)1177p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

4．从0 ~ 9中任取4个数构成（可重复取）求： （1）有2个相同，另2个不同的概率p ； （2）取的至少有3个相同的概率q 。

解 432.010)1(42924110==A C C p ；13111049104(2)0.03710C C A C q +== 5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p 。

解 ,5100 个次品个产品中有可以认为一批5051491009559551499559550100, C C C C C C C p C ==++=基本事件总数有利的基本事件数所求概率 。

6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p （2）3名优秀生在同一个班的概率q 。