第2章2-1 半径为a的无限薄带电圆盘上面电荷密度为ρ=r2，r为圆盘上任意点到圆心的距离，求圆盘上的总电量。

解：Q=∬ρ∙rdφdrS =∫r3∙dra∙∫dφ2π=πr42。

2-2 半径为a的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为Q，若该球以角速度ω绕其自身的任意中轴旋转，求球体内的体电流密度。

解：J V⃗⃗⃗ =3qωrsinθ4πa3φ⃗⃗ 。

2-3 无限薄的导电面放置于z=0平面内的0<x<0.05m的区域中，流向y⃗方向的5A电流按正弦规律分布于该面内，在x=0和x=0.05m处线电流密度为0，在x=0.025m处线电流密度为最大，求J S⃗⃗ 的表达式。

解：电流分布如下图所示：x0.025 0.05J S⃗⃗ =5sin(πx0.05)a y⃗⃗⃗⃗ 。

2-4 三根长度为l、电荷均匀分布、线密度分别为ρl1，ρl2和ρl3的线电荷构成的等边三角形，设ρl1=2ρl2=2ρl3，计算三角形中心处的电场。

解：E y⃗⃗⃗⃗ =ρh4πε0∫√(h2+x2)3l2−l2=4πεh√4h2+l2，由电荷密度关系可知：2|E1|=|E2|=|E3|，|E2|=2E，|E1|=E，|E3|=2E，因此，E1⃗⃗⃗⃗ +E2⃗⃗⃗⃗ +E3⃗⃗⃗⃗ =0。

2-5 两无限长的同轴圆柱壳面，半径为a 和b ，内外导体上均匀分布电荷，密度分别为ρS1，ρS2，求r <a ，a <r <b ，r >b 时各点的电场及两导体间的电压。

解：用高斯定理求E 。

做高斯面（闭合面）， ∵轴对称∴高斯面为圆柱闭合面，为左图所示 ①E1（r ＜a ,内导体内） 设导体为理想导体，则E 1=0；②E2（a ＜r ＜b ，内导体与外导体之间圆柱空间）∵同轴无限长,∴圆柱侧面（高斯面）上E 2处处相等，且E只有ρ方向分量d 矢量为高斯封闭面的外法线n ds n s,=E 2·d s : 上下底面：E 2·d s =0（∵E 2⊥d s，cos90°=0） 侧面：E 2·d s =E 2·ds （∵E 2∥d s，cos 0°=1）10222222επρεπρalQlE dS E dS E S d E s S=====⋅∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰侧侧∴ρρερˆ012aE s = ③3E( r ＞b ，外导体壳外)E 32πl ρ=212επρπρblal s s +∴3E =ρρερρˆ021ba s s + （2）两导体内电压ab Va ba d a d E d E l d E V sb a s b aba b a ab ln 10101ερρρερρρρρ===⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰ 当r <a 时，E⃗ =0；当a <r <b 时，E ⃗ =ρS1a+ρS2brε0r ，U =∫E ⃗ ∙dr b a =(ρS1a +ρS2b )ε0ln ab 。

2-6 半径为a 的球中充满密度为ρ(r )的电荷，已知电场为E r ={r 3+Ar 2，r ≤a(a 5+Aa 4)r 2⁄，r >a ，球电荷密度ρ(r )。

解：利用高斯定理的微分形式，即▽0/ερ=⋅E，在球坐标系中，可得)(12200r E r rr E ∂∂=⋅∇⋅=εερ⑴在r ≤a 的区域 [])45()(1202322Ar r Ar r r rr +=+∂∂=εερ ⑵在r ＞a 的区域 []0/)(124522=+∂∂=r Aa a r rr ρ ⑶求r=a 处的s ρ。

直接利用边界条件0)()(230230=+-+=-=-+=Aa a Aa a D D r r ar sεερ结论：当r ≤a 时，ρ=∇∙D ⃗⃗ =ε0∇∙E ⃗ =5ε0r 2+4Ar ； 当r >a 时，ρ=∇∙D ⃗⃗ =ε0∇∙E ⃗ =0。

2-7 半径为a 和b (a <b )的两个同心导体球面，球面上电荷分布均匀，密度分别ρS1、ρS2，应用高斯定理求任意r 点的电场及两导体间的电压。

解：当r <a 时，∯E ⃗ ∙dS ⃗ =1ε∭ρ∙dv V =0，E ⃗ =0； 当a ≤r ≤b 时， ∯E ⃗∙dS ⃗ =1ε0∭ρ∙dv V=4πa 2ρS1ε0，E⃗ =a 2ρS1ε0r 2r ，当r ≥b 时，∯E ⃗ ∙dS ⃗ =1ε0(4πa 2ρS1+4πb 2ρS2)， E ⃗ =1ε0r2(a 2ρS1+b 2ρS2)， U =∫E ⃗∙dlba =a 2ρS1ε0(1a −1b )。

2-8 一个半径为b 的球体内充满密度为ρ=b 2−r 2的电荷。

计算球内和球外任一点的电场强度和电位。

解：当r <b 时，q 1=4ρπr 33=4(b 2−r 2)πr 33，E ⃗ =14πε0r 2∭ρ∙dv V =−r 33εr ； 当r ≥b 时，E ⃗ =14πε0b 2∭ρ∙dv V =2r 215εr 。

2-9 一个半径为a的薄球体壳内表面涂履了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q的电荷，球壳上又冲了电量为Q的电荷。

已知内部的电场为E⃗=(ra )4r，计算：(1)球内电荷分布；(2)球的外表面电荷分布；(3)球壳的电位；(4)球心的电位。

解：(1)E⃗=14πε0∭ρV(r)r2V∙dV∙r=(ra)4r即14πε0∭ρV(r)r2V∙dV∙r=(ra)4r，得ρV(r)=r3ε0a4；(2)Q=∯ρS(r)∙dSS=ρS(r)∙4πa2，ρS=Q4πa2；(3)ϕ(r)=q4πε0a =2Q4πε0a；(4)11a5。

2-10 电场中有一个半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位为ϕ=0，r≤a；ϕ=A(r−a2r)cosφ，r≥a，(1)求圆柱内外的电场强度；(2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之。

解：(1)因为 ϕ=0，r<a；ϕ=A(r−a 2r)cosφ，r≥a，所以r<a时，E⃗=0；当r≥a时，E=−∇∙ϕ=−ðϕðr a r−ðϕrðraφ，E=−a⃑r A(1+a2r2)cosφ+a⃑φ1rA(r−a2r)sinφ(2)圆柱体是由导体材料制成的，表面上又电荷ρ=nε0E|r=a=−2ε0Acosφ。

2-11 求一点电荷q放在无限大、均匀、线性、各向异性电介质中，介质相对介电常数为εr。

求电介质中的D⃗⃗ ，E⃗，P⃗。

又问D⃗⃗ ，E⃗，P⃗是否均匀？其极化电荷体密度ρp如何？解：E⃗=q4πε0εrr，D⃗⃗ =ε0εr E⃗=q4πr2r，P⃗=ε0(εr−1)E⃗=q(εr−1)4πεr r2r，E⃗、D⃗⃗ 、P⃗是按照离q的距离变化的，是不均匀的。

∇∙P⃗=0(r=0，∇∙P⃗≠0)。

2-12 证明在均匀、线性、各向同性电介质的任何一点上，若自由电荷ρ=0，则束缚电荷ρp=0。

证明：p ⃗ =ql =0，P ⃗ =Np ⃗ =0，ρp =−∇∙P ⃗ =0。

2-13 半径分别为a 和b (a <b )的同心导体球壳之分布着密度为ρ=a r 2⁄的自由电荷，求电场和电位分布。

如果外导体球壳接地，问电位电场有无变化？ 解：∯E ⃗ ∙dS =1ε∭a r2V dv =4π(r−a )aε0，E ⃗ =(r−a )a ε0r2， 接地后： ϕr −ϕb =∫E⃗ ∙dr brϕr =∫E ⃗ ∙dr br +ϕb =a [1ε0ln b r +3a ε0(1b 3−1r 3)]， 接地前，无穷处电位为零ϕr =∫E⃗ ∙dr ∞r +ϕb =发散。

2-14 电场中有一半径为a 的介质求，已知ϕ1=−E 0rcosθ+ε−ε0ε+2ε0a 3E 0cosθr 2，r ≥a ，ϕ2=−3ε0ε+2ε0a 3E 0cosθr 2，r ≤a 验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。

解：边界条件：ϕ1|r=a =ϕ2|r=a ，ε1ðϕ1ðn=ε2ðϕ2ðnE⃗ =−∇∙ϕ2=3ε0ε+2ε0E 0(r cosθ−θ⃗ sin θr)，P ⃗ =(εr −1)ε0E ⃗ =3(εr −1)ε+2ε0(r cosθ−θ⃗ sin θr)，ρsp =P ⃗ ∙n ⃗ =3(εr −1)ε+2ε0ε0E 0cosθ。

2-15 设y =0平面是两种介质分界面，在y =0的区域内，ε1=5ε0而在y <0的区域内，ε2=3ε0。

如果已知E 2=10x ⃗ +20y ⃗ ，求D 1⃗⃗⃗⃗ ，D 2⃗⃗⃗⃗ 和E 1⃗⃗⃗⃗ 。

解：如果ε1=3ε0，ε2=5ε0D 2⃗⃗⃗⃗ =ε2E 2⃗⃗⃗⃗ =x ⃗ 50ε0+y ⃗ 100ε0， E 1t ⃗⃗⃗⃗⃗ =E 2t ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⃗ 10， D 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 2n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y ⃗ 100ε0， D 1⃗⃗⃗⃗ =D 1t ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ε1E 1t ⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⃗ 30ε0+y ⃗ 100ε0。

E 1⃗⃗⃗⃗ =E 1t ⃗⃗⃗⃗⃗ +E 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x⃗ 10+y ⃗ 33.3 假设ε1=5ε0，ε2=3ε0 D 2⃗⃗⃗⃗ =ε2E ⃗ =x ⃗ 30ε0+y ⃗ 60ε0， E 1t ⃗⃗⃗⃗⃗ =E 2t ⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⃗ 10， D 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 2n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y ⃗ 60ε0， D 1⃗⃗⃗⃗ =D 1t ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ε1E 1t ⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⃗ 50ε0+y ⃗ 60ε0。

E 1⃗⃗⃗⃗ =E 1t ⃗⃗⃗⃗⃗ +E 1n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x⃗ 10+y ⃗ 122-16 平行板电容器的长和宽分别为a 和b ，板间距离为d 。

电容器的一半厚度(0~d 2⁄)用电介质ε填充。

板外加电压U ，求板上的自由电荷面密度、极化电荷密度和电容器的电容量。

解：ε1=ε,ε2=ε0ε1E 1=ε2E 2， d 1 E 1+ d 2 E 2 =U (ε2ε1+1)E 2=2Ud, E 2=2Uε1d(ε1+ε2), E 1=2Uε2d(ε1+ε2)1） 平行板电容器上面板的自由电荷面密度为ρup = n ⃗⃑∙D ⃗⃑up =ε1E 1=2Uε1ε2d(ε1+ε2),ρup = 2Uεε0d(ε+ε0),平行板电容器下面板的自由电荷面密度为 ρdown = n ⃗⃑∙D⃗⃑down =ε2E 2=2Uε1ε2d(ε1+ε2),2） 平行板电容器上面板的极化电荷面密度为ρupp = n ⃗⃑∙P up ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃑=ε0χ1E 1=2Uε2ε0χ1d(ε1+ε2), χ1=ε1−ε0ε0, ρupp =2Uε0(ε1−ε0)d(ε1+ε0)平行板电容器下面板的自由电荷面密度为ρdown =03） 平行板电容器的电容量为Q =ρ1S =2Uabε1ε2d(ε1+ε2), C =q U=2ε1ε2abd(ε1+ε2)2-17 一点电荷q 放在成60°导体角内的x =1，y =1点，(1)求出所有镜像电荷的位置和大小；(2)求x =2，y =1点的电位。