牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

二、 迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。

由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。

3、 要保证迭代法收敛，不管非线性方程=)(x f 0的形式如何，总可以构造：)()()(x f x k x x x -==ϕ )0)((≠x k作为方程求解的迭代函数。

因为：)(')()()('1)('x f x k x f x k x --=ϕ 而且)('x ϕ在根α附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：0)('=αϕ 若≠)('αf 0(即根α不是=)(x f 0的重根)，则由0)('=αϕ得：)('1)(ααf k =，因此可令)('1)(x f x k =，则也可以得出迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。

4、 迭代法的基本思想是将方程0)(=x f改写成等价的迭代形式)(x x ϕ=，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。

运用前述加速技巧，对于简单迭代过程)(1n n n x f x x +=+，其加速公式具有形式：θθϕ--=+1)(1nn n x x x )(111n n n x x x --+=++θθ，其中)(1n n x x ϕ=+记1-=θL ，上面两式可以合并写成：L x f x x n n n )(1-=+这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：L x f x x )()(-=ϕ。

需要注意的是，由于L 是)('x ϕ的估计值，若取)()(x f x x +=ϕ，则)('x ϕ实际上便是)('x f 的估计值。

假设0)('≠x f ，则可以用)('x f 代替上式中的L ，就可得到牛顿法的迭代公式：)(')(1n n n n x f x f x x -=+。

牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。

三、算法描述用Newton 法求方程f （x ）=0的一个解输入 初始值x0；误差容限TOL ；最大迭代次数m 输出 近似解p 或失败信息 Step1 00x p ←Step2 对i=1，2，...，m 做setp3~4Setp3)()(000p f p f p p '-←Setp4若TOL p p <-0，则输出（p ），停机，否则p p ←0Setp5输出失败信息；停机注：在第4步中的迭代终止准则可用：TOLp f TOL pp p TOLpp p <<-<-)(0且或者四、C 语言代码求一元四次方程045.13234=-+-x x x 的解 double func(double x) //函数{ return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; } double func1(double x) //导函数 { return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; } int Newton(double *x,double precision,int maxcyc)//初始值， 精度， 迭代次数{double x1,x0; int k; x0=*x;for(k=0;k<maxcyc;k++) {if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0{printf("迭代过程中导数为0!\n");return 0;}x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1))<precision) //达到结束条件{ *x=x1; //返回结果return 1; }else //未达到结束条件x0=x1; //准备下一次迭代}printf("迭代次数超过预期!\n"); //达到迭代次数，仍没有达到精度return 0;}int main(){double x,precision;int maxcyc;printf("输入初始迭代值x0:");scanf("%lf",&x);printf("输入最大迭代次数:");scanf("%d",&maxcyc);printf("迭代要求的精度:"); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1printf("该值附近的根为:%lf\n",x);else //若函数返回值为0 printf("迭代失败!\n"); getch(); return 0;}五、二元函数的牛顿迭代法设z=f （x ，y ）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h ，y0+k ）为此邻域内任意一点，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+≈++==00),(),(),(),(0000y y x x y x f y k y x f xh y x f k y h x f 其中00,y y k x x h -=-=于是方程f （x ，y)=0可近似表示为0),(),(),(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+==k k y y x x k k y x f y k y x f x h y x f 即0),()(),()(),(=-+-+k k y k k k x k k k y x f y y y x f x x y x f同理，设z=g （x ，y ）在点（x0，y0）的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数，（x0+h ，y0+k ）为此邻域内任意一点，则同样有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+≈++==00),(),(),(),(0000y y x x y x g y k y x g xh y x g k y h x g其中00,y y k x x h -=-=于是方程g （x ，y)=0可近似表示为0),(),(),(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+==k k y y x x k k y x g y k y x g x h y x g 即0),()(),()(),(=-+-+k k y k k k x k k k y x g y y y x g x x y x g 于是得到方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=-+-+0),()(),()(),(0),()(),()(),(k k y k k k x k k k k k y k k k x k k k y x g y y y x g x x y x g y x f y y y x f x x y x f 求解这个方程组：当0),(),(),(),(≠-k k y k k x k k y k k x y x g y x f y x f y x g 时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=--+=),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(k k y k k x k k y k k x k k x k k k k x k k kk k y k k x k k y k k x k k y k k k k y k k k y x g y x f y x f y x g y x f y x f y x f y x g y y y x g y x f y x f y x g y x f y x g y x g y x f x x 雅可比行列式：),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(k k x k k k k x k k y k k k k y k k k k y x k k y k k x k k y k k x y x g y x g y x f y x f J J y x g y x g y x f y x f J J y x g y x g y x f y x f J ===所以，解可改写为：⎩⎨⎧+=+=y k x k J y y J x x迭代公式为：⎩⎨⎧+=+=++y k k x k k J y y J x x 11Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。