空间向量在几何体中例题1如图，在四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC,E 、F 分别是AB 、PB 的中点。
（1）求证：EF ⊥CD ；（2）证明：PA// 平面DEF3．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
F ED CBAP16．（本题满分14分）求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件。
6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于1210x x a=<⇒ a ＜0 若方程有两负根，等价于4402010Δa a a⎧⎪=-≥⎪⎪-<⇒⎨⎪⎪>⎪⎩0＜a ≤1综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x+1=0至少有一负根的充分条件 所以ax 2+2x+1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件是a ＜0或0＜a ≤15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移 （1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为（2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a ba 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1ACD 的距离为.313212||||1=-+=⋅=n n E D h（3）设平面1D EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n C D n 令1,2,2b c a x =∴==-， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.225)2(222||||||4cos211=+-⇒=⋅⋅=x DD n DD n π∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴23AE =-时，二面角1D EC D --的大小为4π.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PF EC ⊥. 已知,21,2,2===AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E PC D --的大小.解：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)D P C 设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD DE ⊥，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD ,CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG PC ⊥，可设(0,,)G y z .由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF PC ⊥于F ，设(0,,)F m n ，则).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故E PC D --的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角. 故,4,22||||cos πθθ==⋅=EF DG EF DG 即二面角E PC D --的大小为.4π7．如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点，求证：MN ⊥平面PCD.(12分).,,,;0)|||(|21|||(|21)()(21;0)(21)(210,0,0,,,,)(21)(2121)(2121.},,{,,,2222PCD MN D PD DC PD MN DC MN AP AD a c a c c a PD MN b c b a b c a DC MN a c c b b a ADAB AD PA AB PA ABCD PA a c PD b AB DC c a c b a b AC AP b AM AN MN c b a c AD b AB a AP 平面又故且矩形则为空间的一个基底则设⊥∴=⋂⊥⊥∴=--=--=-⋅+-=⋅=⋅+⋅-=⋅+-=⋅=⋅=⋅=⋅∴⊥⊥⊥∴⊥-===+-=++-=+-=-====Θ8．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023a AC AC AC a AC ===⇒=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，，·°n n n n． 故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．9．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，，．由0GE BD GEBD ⊥⇒=u u u r u u u r·，得1a =， 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(0)H x y ，，， 则1(22)A H x y =--u u u u r，，． 又(201)AD =-u u u r ，，，(111)AE =-u u u r ，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M =u u u r u u u u r ，·111426cos 2326A A A A A H ==⨯=u u u r u u u u r ，·． 10．（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、B 两点。
（1）求AB 的长度；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由。
10解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()38403222>-+=∆≠-a a a ，解得2212212232,32,3,6ax x a a x x a a --=-=+≠<且。
(1))36(36524)(1122224212212212≠<-++-=-++=-+=a a a a a x x x x ax x a AB 且。
(2)由题意得 0)1)(1(,0,121212121=+++=+-=ax ax x x y y x x k k ob oa 即即 整 理得1,12±==a a 符合条件，所以。