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定义 给定 f(x),g(x) c[a,b], ( x ) 是[a,b]上的权函数,称
(f,g)a b(x)f(x)g(x)dx
为函数f 与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质:
(1) (f,g)(g,f)
(2) ( f,g ) (f,g ) ; R
(3) (f 1 f2 ,g ) (f 1 ,g ) (f2 ,g )
第二章 最佳平方逼近
一、正交多项式
为了进一步讨论函数逼近问题,以及为了后续内容的需要,我 们的着眼点不能再局限在一般多项式上,而要给出一类具有特 殊性质的多项式,即正交多项式.
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
（一） 正交函数的概念
1 11 1 x 2T k(x )T m (x )d x0 c o skc o sm d ,
,
k k
=m
= m
0
0
2
12
例 ４、 Laguerre 多项式
L n x e xd d x n n (x n e x ) ,n 0 ,1
即多项式
L 0 ( x ) 1 , L 1 ( x ) 1 x L2(x)24xx2 L 3 (x ) 6 1 8 x 9 x 2 x 3
定义 给定函数 (x),x[a,b]若 ( x ) 满足:
(1) (x)0 ,x (a ,b );
(2)
b
a (x)dx 0
(3)
积分
b
a
(
x)xn
dx
存在,n=0,1,….
则称 ( x )为[a,b]上的权函数
b
权函数 ( x ) 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 a ( x)dx
表示总质量. ( x ) =常量,表示质量分布是均匀的.
(1) f 0, (2) f f ;为任意常数 (3) fgf g
在闭区间上连续的函数 f ( x )的最常见范数有:
(1) 最大值范数:
f m a xf(x );x [a ,b ]
(2) 欧氏范数(L2范数):
f ( a(x)[f(x)2]dx)1 2
2
b
(1.1) (1.2)
5
定义
若内积
是[-1,1]上的正交多项式,且有
0,(k m)
1
1pk(x)pm(x)dx2k21,(k m)
1.4
8
事实上,设 k m,由分部积分法得
2kmk!m ! 11P k(x)P m (x)dx 1 1d d xk k[(x2 1 )k]d d xm m [(x2 1 )m ]dx 1 1d d x m m 1 1[(x2 1 )m ]d d x k k 1 1[(x2 1 )k
j)
sin kx sin
jxdx 0,(k
j)
co s kx sin jxd x 0
sin 2 kxdx
cos2 kxdx
例 2、 Legendre 多项式
P n (x )= 2 n 1 n !d d x n n[(x 2 1 )n ],n = 0 ,1 1 .3
7
即多项式:
( 1 )k 1 1d d x m m k k[(x2 1 )m ](x2 1 )kd x
若 k m,则
1
1Pk(x)Pm(x)dx0
9
若k m,则有
2kkk!k! 11Pk2(x)dx ( 1 )k 1 1d d x2 2 kk[(x21 )k](x21 )kdx =(-1 )k(2 k)!1[(x2 1 )k]d x
P 0(x)=1,P1(x)=x,
P 2 (x )= 1 2 (3 x 2 1 ),P 3 (x )=1 2 (5 x 3 3 x ), P4(x)= 1 8(35x430x23)
P k + 1 ( x ) = 2 k k 1 1 x P k ( x ) k k 1 P k 1 ( x ) ,k 1 ,2 ,
(4) 当 f0,(f,f)0 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量一 个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.
4
定义 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件:
(f,g )a b(x)f(x)g (x)d x0
则称 f 与 g 在区间 [ a , b ] 上带权 ( x ) 正交，若函数 0, 1, 2, n
满足:
(k,j)a b(x)k(x)j(x)d x Ak
0,( j 0,
k) (j
k)
则称{ k } 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数系.当 k ( x ) 是代数多
1
= (2k)!1[(1x)k(1x)k]dx 1
= (2 k )!k 1[(1 x)k 1(1 x)k 1 ]d x k 1 1
= (2 k )!k(k 1 )....3 .2 .1 1(1 x)2 kd x
(k 1 )(k 2 ).....2 k 1
=(2k)!(k!)2(1x)2k1 (2k)!(2k1)
1 1
10
(k !)2 22k 1 , 2k 1
于是有
11Pk2(x)dx2k21
例 3 Chebyshey 多项式
T n ( x ) = c o s ( n a r c c o s x ) , n = 0 , 1 , 2 , 1 . 5
即多项式
T 0(x )= 1, T 1 (x)= x , T 2(x)=2x2-1, T 3(x)=4x3-3x, T4(x)=8x4-8x2+1,
项式时,称为正交多项式.
下面我们列举几个最常见的正交函数系.
6
例 1、 三角函数系
1， c o s x , s i n x , c o s 2 x , s i n 2 x ,, c o s n x , s i n n x ,在区间[-π, π] 上两两正交,因为
cos kx cos
jxdx 0,(k
Tn1x2xTnxTn1x,n1,2, .
在区间[-1,1]上关于权函数
(x)=(1-x2
1
)2
正交,且
110, k m源自111 1x2
Tk(x)Tm(c)dx
,
k=m =0 , k=m
0
2
事实上,若 x c o s ,0 ,则有
于是有
T n (x ) c o s (n),0
0,k m