2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（ ）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。

（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。

（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（ ） （A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ） 【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。

（4）设R 为幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）（A ）当221nnn ar∞=∑发散时，r R ≥ （B ）221n nn ar ∞=∑发散时，r R ≤（C ）当r R ≥时，221nn n ar∞=∑发散 （D ）当r R ≤时，221nnn ar ∞=∑收敛 【答案】（A ）【解析】因为R 为幂级数1nn n a x∞=∑为幂级数221n nn ax ∞=∑的收敛半径，当221n nn ar ∞=∑发散时，由阿贝尔定理得r R ≥，选（A ）。

（5）若矩阵A 经初等变换化成B ,则（ ） （A ）存在矩阵P ，使得PA B = （B ）存在矩阵P ，使得BP A = （C ）存在矩阵P ，使得PB A = （D ）方程组0Ax =与0Bx =同解 【答案】（B ）【解析】由题意可知，对于矩阵A 进行列变换得到矩阵B ，则存在初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使12t AQ Q Q B = ，则()112t A B Q Q Q -= ，即A BP =，选（B ）。

（6）已知直线22211112:x a y b c L a b c ---==与直线33322222:x a y b c L a b c ---==相交与一点，法向量,1,2,3i i i i a b i c α⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ） （A ）1a 可由23,a a 线性表示 （B ）2a 可由13,a a 线性表示 （C ）3a 可由12,a a 线性表示 （D ）123,,a a a 线性无关 【答案】（C ）【解析】设交点为000(,,)x y z ，则020202111x a y b z c k a b c ---===，030303222x a y b z cl a b c ---===， 所以012230122301223;;x a k a a l a y b k b b l b z c k c c l c =+=+=+=+=+=+， 从而有312(1)k l ααα=+-，选（C ）。

（7）设,,A B C 为三个随机事件，且()()()1,4P A P B P C ===()0,P AB = ()()112P AC P BC ==,则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为（ ） （A ）34 （B ）23 （C ）12 （D ）512【答案】（D ）【解析】设,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为p ，则()(()p P ABC P ABC P ABC =++，,()0()0ABC AB P AB P ABC ⊂=⇒=，(()()(())111()()()()=4126P ABC P AB C P A P A B C P A P AB P AC P ABC ==-=--+=-(()()(())111()()()()=4126P ABC P BA C P B P B A C P B P AB P BC P ABC ==-=--+=- ；()()()(())121()()()()=41212P ABC P C A B P C P C A B P C P AC P BC P ABC ==-=--+=- ；代入，可得1115661212p =++=. （8）设12100,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，其中1{0}{1}2P X P X ====，()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得1001{55}i i P X =≤∑的近似值为（ ）。

（A ）1(1)-Φ （B ）(1)Φ （C ）1(0.2)-Φ （D ）(0.2)Φ 【答案】（B ）【解析】由题意可知，1()2E X =，1()4D X =，10011100502i i E X =⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭∑，10011100254i i D X =⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭∑，利用中心极限定理可得100100150{55}(1)ii i XP X P =-≤≈≤=Φ∑∑。

选（B ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）()011lim 1ln 1x x e x →⎛⎫-⎪ ⎪-+⎝⎭=_______. 【答案】1-【解析】由题意可知，()()()()00ln 1111lim lim 1ln 11ln 1x x x x x x e e x e x →→⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭ ()()222000ln 11ln 11lim lim lim x x x x x x x x e x x x e x x x→→→+-+-++--+==+ 01111lim 12222x x e x →-=-+=--=-(10) 设ln(x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， 212t d y dx ==________.【答案】【解析】1dy dy dt dx dx tdt === 22d y d x =211d dy dt t dx dt dx t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=-=221d yt d x ==(11)若函数()f x 满足()()()0(0)f x af x f x a '''++=>，且(0),(0)f m f n '==，则()f x dx +∞⎰=______.【答案】n am +【解析】由题意可知，特征方程为210r ar ++=，∆=，因为0a >，所以进行如下讨论：1）当2a >时，方程有两个负实根，即121212(),,r xr xf x C e C e C C =+为任意的常数，此时，()(()())(()())f x dx f x af x dx f x af x n am+∞''''=-+=-+=+⎰⎰2）当02a <<时，方程有共轭复根， 即21212(),,a x f x eC x C x C C -⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭为任意的常数，此时， 0()(()())(()())f x dx f x af x dx f x af x n am +∞+∞+∞''''=-+=-+=+⎰⎰；3）当2a =时，方程有两个相等的负实根，即()1212(),,xf x C C x e C C -=+为任意的常数，此时，()(()())(()())f x dx f x af x dx f x af x n am +∞+∞+∞''''=-+=-+=+⎰⎰；故()f x dx n am +∞=+⎰(12) 设函数()2,,xyxt f x y e dt =⎰则()21,1xx y∂=∂∂______.【答案】4e【解析】由题意可知，2(,)xyxt f x y e dt =⎰，令2xt u =，得32(,)x y uf x y du =，则32323232323203233213;4213322422x y u x y x y x y x y f x du ye x f x x y e ye x y x y --∂=-+∂∂=-++⋅∂∂⎰，故2(1,1)4fe x y∂=∂∂。

（13）行列式011011110110a a a a--=--_______. 【答案】424a a - 【解析】0111000011111111011110a a a a a a a aa a aa--=------()23201222112a a a a a a a a a a=--=----424a a =-（14）设X 服从区间(,)22ππ-的均匀分布，sin Y X =，则(,)Cov X Y =______.【答案】2π【解析】由题意可知，1(,()0()220x E x f x otherπππ⎧∈-⎪==⎨⎪⎩， 则cov(,)cov(,sin )(sin )()(sin )X Y X X E X X E X E X ==-，其中2212(sin )sin E X X x x dx ππππ-=⋅=⎰，故2cov(,)cov(,sin )(sin )()(sin )X Y X X E X X E X E X π==-=。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求()33,8f x y x y xy =+-极值【答案】极小值为111(,612216f =- 【解析】由题意可知，223,24f fx y y x x y∂∂=-=-∂∂； 令2230240f x y xf y x y ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得2112106,0112x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩再有222226,1;48f f fx y x x y y ∂∂∂==-=∂∂∂∂，得2221(0,0)1(0,0)1(0,0)220,1,0f ffA B C xx yy ∂∂∂====-==∂∂∂∂；11(,612222211221122(,)(,)6126121,1,4f f fA B Cx x y y∂∂∂====-==∂∂∂∂因为22111222210,30,10A CB AC B A-=-<-=>=>且，所以(0,0)不是极值点，11(,612为极小值点，极小值为111(,)612216f=-.（16）（本题满分10分）计算曲线积分2222444x y x yI dx dyx y x y-+=+++⎰，其中I是曲线22:2L x y+=，方向为逆时针方向。