课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节) 一、内容和内容解析
1．教学内容
《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用
本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．
二、目标和目标解析
本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：
1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；
2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；
3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；
4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．
三、教学问题诊断分析
1．问题诊断
学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：
（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；
（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．
2．重难点
重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念
难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解
3.突出重点、突破难点的策略
本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．具体表现在：
（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；
（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—互动修正”生成概念；
（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”．四、教学支持条件分析
1．学情分析
本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．
2．教学策略与教法、学法
本课采取“探究—发现”教学模式．
教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．
学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．
教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔
学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔
五、教学过程设计
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
教学内容师生活动（预设）设计说明
一、创设情景，引入概念
播放一段和笛卡尔的传说有关的广告视频．师：不知大家有没有看过下面
这则广告？
生（齐）：（观看视频）
师：其实，这则广告的创意源
自于一位伟大数学家的爱情
传说，大家知道他是谁吗？
生（齐）：笛卡尔．
师：是的．那你了解笛卡尔
优美的画面和音乐吸引
学生注意力，富于文化的广告
创意调动学生的积极性，暗藏
其中的故事情节激发学生的
思考和好奇心，情景创设为引
【阶段小结】教师引导下，学生交流自己对定义的认识．程的曲线在第一、二象限．
师：能否用定义加以说明？
生14：如点（-4,-1）在曲线
上，但不是方程F的解；
（-4,1）
的坐标是方程的解，以它为坐
标的点不在曲线上．
师：其实，要解决曲线与方程
的关系的判断，除了教材上定
义之外，还有其他的一些表
述，请你在学习定义的基础上
谈谈自己对曲线与方程关系
的判断方法．
生15：（预设）检查曲线上的
点和方程的解之间的关系．
师：不错，但注意准确性．应
该是曲线上的每一个点和方
程的每一个解的关系．
生16：（预设）看曲线上是否
有不是方程的解为坐标的点，
看曲线是否包括了方程的所
有解为坐标的点．
师：很好，这种判断方法相当
于是看曲线是否纯粹地列出
了方程的解为坐标的点，无多
余的点，而方程的解是否完备
地通过曲线体现了，没有漏掉
解．
通过对概念的应用，将学
生对曲线的方程（方程的曲
线）这一概念的多角度理解进
行梳理，引导学生在说出自己
对曲线与方程关系的理解的
基础上对概念再认识．
四、课堂检测，课外延伸【课堂检测】
请将以下四个方程和右边的图形用连段连接起来：
||0
x y
-=
||0
x y
-=
220
x y
-=师：接下来请看课堂检测．请
将以下四个方程和四个曲线
配对，并简要说明理由．
生17：观察方程中解的正负和
曲线上点的坐标的正负，可以
筛选答案．
师：不错．如果我们要用概
念检验曲线和方程之间的关
系，该如何分析呢？比如第一
个方程和第一幅图．
生17：第一支曲线上的部分点
的坐标不是第一个方程的解，
所以方程不是曲线的方程．
课堂检测的作用是检测
学生在对定义的理解是否深
入，应用是否灵活．
学生根据范围直接进行配
对，体现了其对曲线与方程关
系掌握的灵活性．
0x y -=
【课外延伸】 1． 查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献． 2． 广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于
(1sin )r a θ=-与心形曲线的
关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．
师：大家想知道本课之初视频背后的故事吗？ 生（齐）：想． （播放视频） 师：广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于
(1sin )r a θ=-与心形曲线的
关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．
《曲线与方程》衔接了直线、圆与圆锥曲线，了解圆锥曲线的发展历史，更有利于激发学生使用方程研究圆锥曲线的兴趣，更加积极地学习解析几何一眼就问题的方法． 对于笛卡尔的爱情传说，学生一定是很有兴趣的，其中涉及到的极坐标系作为本课
最后的一个说明即拓展了学
生视野，也将高中解析几何的直线与方程、圆与方程、圆锥
曲线与方程、坐标系与参数方程四个部分都出现在了本课中．
附：板书设计
六、目标检测设计
§2．1．1曲线与方程（第1课时）
一、
情景创设 二、作图探究
2
201
y x --=- 22(1)y x -=- 2(1)y x x => 0
x
y
x
y
x
y
2
10x y --= 2
2
1x y +=
曲线的方程（方程的曲线） 方程的解 曲线上的点
PPT 展示区
1．曲线上的点的坐标满足方程; 2．以方程的解为坐标的点在曲线上．
三、正反实例 例1
例2（1）
（2）
1
x
y
在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：
此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节： 1.课堂检测
请将以下四个方程和图形用连段连接起来：
||0x y -= ||0x y -= 220x y -=
0x y -=
2.课外延伸
（1）查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔和坐标系在其中所做出的贡献．
（2）广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于(1sin )r a θ=-与心形曲线的关系，便是曲线与方程对应关系的体现，它涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》坐标系与参数方程中学习． 设计意图:
课堂检测的目的是检测教学效果．再次感受方程的不同导致曲线的不同之间，曲线的差异对应方程的差异，理解数形结合思想．学会使用概念对曲线与方
程的关系进行界定．
《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本课内容承载着这两个要素，曲线与方程的关系体现了解析几何核心思想，而解析几何是近代数学的里程碑．课外延伸旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学核心素养．结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了“曲线与方程的对应关系”这一知识，激发学生兴趣，并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的板块．。