函数相关问题
函数（大纲）
函数是数学分析中的基本概念，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。

包括函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

例1 试证不存在上的连续函数1\f ，使得f 在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。

证 若不然，则存在，使得,a b ∈_()()f a f b L ==且a b <。

设()f x 在[,上的最大值和最小值分别为]a b M 和m 。

若f 在[,上取常值，则]a b f 在无理数集上不是一一映射。

于是M L >或m L <。

不妨设()L M f c <=，a c b <<，则由可数、开区间(,不可数知(,()f _)L M )()L M f −≠∅_。

任取某个(,)()h L M f ∈−_，分别在[],a c 和[],c b 上应用介值性定理 必有s 和t 使得a s c t b <<<<且()()f s f t h ==。

因(,)()h L M f ∈−_，故和t 都是无理数，这与s f 在无理数集上是一一映射矛盾。

例2 设1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x −=，x ∈\，若存在，使得0n 0()n f x =x ，则f 是到的一一映射。

1\1()f \证 只需证f 是单射。

假设f 不是单射，则12x x ∃≠使得1()()2f x f x =。

因此
，使得1n ∃2n +∈]111()n f x x =，22()n 2f x x =。

于是121112()()n n f x f x ++=，从而11221212()()n n n n n n f x f x +⋅+⋅=。

所以
1121121111()(())()n n n n n n n f x f f x f x +⋅⋅==2122122222()(())()n n n n n n n ，f x f f x f x +⋅⋅==2。

于是12112()()n n x f x f x x ===，这与12x x ≠矛盾。

故f 是到的一一映射。

1\1()f \例3 若一族开区间{|}I α
α∈Γ覆盖了闭区间[0，则必存在一个正数
,1]0δ>，使得[0中的任意两点,1]12,x x 满足12x x δ−<时，12,x x 必属于某个
开区间{}I I β
α∈。

证 不妨设每个开区间都是有限区间。

（1） 作函数:[0,1]f →\，sup{(,)|}C x d x I αα∈Γ6。

（2）
f
连续，且
()0f x >。

而闭区间上的连续函数一定有最小值，令
1
min{()|[0,1]}2
f x x δ=∈。

]（连续性的证明：
,[0,1x y ∀∈，(,)inf{(,)|}C C d x I d x a a I αα=∈≤
inf{(,)(,)|}(,)C d x y d y a a I d x y α+∈=+inf{(,)|}C d y a a I α∈= (,)(,)C d x y d y I α+，取上确界得
sup{(,)|}(,)sup{(,)|}C C d x I d x y d y I αααα∈Γ≤+∈Γ
即
()()(,)f x f y d x y −≤，同理()()(,)f y f x d x y −≤，于是
()()(,)f x f y d x y −≤，故0,ε∀>取δε=，当x y δ−<时， ()()f x f y ε−<，所以()f x 是[0上的连续函数。

）
,1]（3）[0,1]x ∀∈，0()f x δ<<，因此存在I α，使得(,)C d x I αδ
>，
从而(,)x x I αδδ−+⊂。

（3） 而满足
12x x δ−<的点12,x x 必在某个(,)x x δδ−+中(事实上
取12
2
x x x −=
即可)，从而命题得证。

方法二：用有限覆盖定理证。

例4 从已知ABC ∆的内部的点向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点的位置。

P P 解：设到P ,,AB AC BC 的距离分别为,,x y z 。

则
2cx by az S ++=，
其中S 为ABC ∆的面积。

33
111()(3
3cx b 2)y az S xyz cx by az abc abc abc ++=
⋅⋅≤=， 等号当且紧当cx by
az ==时成立，且可达到。

例5 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。

平面几何的方法证。

例 6 设有函数列
f x x 1275()=+,f x x f x 221152()()=+,……,f x x f x n n ()()=+−21152,……,求
方程2005()2f x =x 的一切实数解。

解 (1) 首先验证5x =是方程的解。

(2) 当5x >时，用归纳法证明()2n f x x <。

(3) 当5x <时，用归纳法证明()2n f x x >。

例7 设函数()f x 定义在区间I 上，如果对于任何12,x x I ∈，及(0,1)λ∈，恒有
121[(1)]()(1)(2)f x x f x f x λλλλ+−≤+−，（1）
证明：在区间I 的任何闭子区间上()f x 有界。

证 ，则存在[,],(,)a b I x a b ∀⊂∀∈(0,1)λ∈，使
(),(1)x a b a x b a λλλ=+−∴=+−， 由（1）有
()((1))()(1)()(1)f x f b a f b f a M M M λλλλλλ=+−≤+−≤+−= 其中max{(),()}M f a f b =，
[,]x a b ∀∈，令()y a b x =+−，那么
22a b x y
++=， 1111
()()()()()2222222
a b x y f f f x f y f x +=+≤+≤+M 1()2()2
a b
f x f M +m ∴≥−=。