dp d(mv) F 或 d mv Fdt
dt dt
积分形式为：
mv2 mv1
t2 Fdt I
t1
即在某一时间间隔内，质点动量的变化等
于力在此段时间内的冲量。（冲量定理）
★ 质点系的动量定理
对于第i个质点
dpi dt
d(mivi ) dt
F (e) i
F (i) i
对于质点系
求：电动机底座所受的水平和竖直约束力。
解：1、选择包括外壳、定子、转子的电动机作为研
究对象 2、分析系统受力 定子所受重力m1g; 转子所受重力m2g;
y
o2
e2
o1
x
m1 g
m2 g
底座所受约束力
Fx、Fy、M。
3、确定质心的加
速度
xC
m1
0 m2 e cost
m1 m2
M
Fx
Fy
yC
i
dpi dt
i
d(mivi ) dt
i
F (e) i
i
F (i) i
内力主矢
F(i) i
0
外力主矢
F (e) i
质点系动量定理
dp
dt
i
F (e) i
积分形式
p2 p1
I (e) i
i
§10-2 动量定理 ★ 质点系的动量定理
dp
dt
i
F (e) i
投影形式为:
dpx
4、应用质点系的动量定理确定约束力
d
dt
mivYi
FY
5、分析电动机跳起的条件：当偏心转子质心O2运动到最上方
时， = t = /2，约束力最小：
电动机跳起的条件为： 由此得：
解（2）：电机在水平方向的运动规律
分析：系统动量并不守恒（？），
y1
vO 2
但是系统在水平方向不受外力，动
o2
量在水平方向的分量守恒。
C1 C
C2
A
O
60 B
C1C2 = 0.5l
4m 0.5l
C1C 6m 4m = 0.2l
x
取过质心C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图。
xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l
y
D
C1 C
C2
6mg 4mg
A
O
60 B
N1
N2
画系统受力图.
由于ΣF(e)x = 0,则vcx = c
例10-2 锤的质量m =3000kg,
y
从高度h=1.5m处自由下落到受 m
锻压的工件上，工件发生变形，
历时t0=0.01s，求锤对工件的平 均压力。
h
分析：
取锤为研究对象，则锤的运动可分为 自由落体过程和锻压过程，第一过程受 重力作用，第二过程受重力和平均约束 力作用。对整个过程用冲量定理。
解：锤自由落体过程经历的时间 t1
t 内动量的改变量 :
p ( mi vi mi vi ) - ( mi vi mi vi )
1 2
2 2
11
1 2
★ 动量定理在流体中的应用
p ( mi vi mi vi ) - ( mi vi mi vi )
1 2
2 2
11
1 2
流动是稳定的
mi vi mi vi
质量均为m，曲柄OD和连杆AB的质量均为m ；曲柄
以等角速度ω绕O轴旋转；图示位置时，角度φ为任
意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
B
ω Oφ
A
解：
y B
设系统质心坐标为（xc,yc)
xC
mixi 2ml cos 0.5ml cos ml cos
mi
4m
7lcos
8
px
mi xc
7 lm sin
2、系统所受的外力有—
—定子所受重力m1g；转
子所受重力m2g；底座所
FY
x
受约束力Fy
3、分析运动，确定各个刚体质心的加速度：
定系Oxy，动系O1x1y1，外壳作平移，其质心加速度为aO1 转子作平面运动，其质心加速度由两部分组成：ae=aO1 （水
平方向）；ar=aO2=e 2 （法向加速度）。
■ 实际问题3
？ 工作原理
§10-1 动量与冲量
★ 动量
●质点的动量
p mv
●质点系的动量
n
p
m i
vi
●质心
i 1
rC
miri 其中m
m
mi
上式两边对时间求导 mvC mivi
●质点系的动量 p mivi mvC
例10椭-1圆规机构中，OD＝AD＝DB＝l；滑块A和B的
vB
mA cos
mA mB
vr
mB
滑块B的位移
FN
d
t
0 vBdt
mA cos
mA mB
t 0
vrdt
mA mA
cos
mB
l
★ 动量定理在流体中的应用
理想流体的假设 :
（1）流动是稳定（定常）的，
即各点的速度、压强不随
时间而变化 。
（2）流体是不可压缩的，即流
量是常数。 有连续流方程
dm dt
m1 0 m2 m1
e sin t
m2
xC
m2 m1 m2
e 2
cos t
yC
m2 m1 m2
e 2
sin t
y
4、应用质心运动定理
o2
maCx
F (e) x
e2
o1
x
m1 g
m2 g
m2 e2cost Fx
maCy
F (e) y
Fy M
Fx
m2 e2sint Fy m1g m2g
2h
t1 g
y
锤的初速度及末速度均为0 m
h
由质点的动量定理得
G
0 0 G(t1 t0 ) FNt0
代入已知数据可解得
FN
G( t1 t0
1)
1656kN
FN
例10-3 质量为 mA的物块A在重力作用下沿质量
为 mB的大物块B的斜面滑下，斜面倾角为α，若 系统初始处于静止，各接触面均光滑，求物块A 沿斜面滑下 l 时物块B移动的距离。
0
i
F(e) x
0
vC 常矢量，即 mv1 mv2 vCx 常量， 即 mv1x mv2x
F(e) x
0
且 vCx t0 0
xC 常量，即 mx1 mx2
例10-5 电动机的外壳和定子的总质量为 m1 ，质 心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ， 质心O2 与转轴不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转 子以等角速度ω旋转 。
1 2
1 2
p mi vi - mi vi
2 2
11
m v2 m v1 m( v2 v1 )
p m( v2 v1 )
同除以 t ，并取极限
dp dt
dm dt
(v2
v1)＝qm
(v2
v1)
由动量定理得 qm (v2 v1)＝ F＝F1＋F2＋FN＋W
FN FN' FN''
质量为m半径为R的均质半圆形板，受力偶M作用，
在铅垂面内绕 O轴转动，转动的角速度为，角加速 度为α。 C点为半圆板的质心，当OC与水平线成任 意角 时，求此瞬时轴O的约束力 (OC=4R/3)。
MO
C
α
习题讨论课--题3
图示浮动起重机举起质量m1 =2000 kg的重物。设起重机质量 m2 =20000 kg，杆长OA=8 m；开 始时杆与铅直位置成60°角，水的 阻力和杆重均略去不计。当起重 杆OA转到与铅直位置成30°角时，
mA
mB
解： 1、运动分析 动点－小三角块A 动系－大三角块B
va ve vr
上矢量式投影于x轴
vax vrcos vB
mA
mB
ve
mA
x
va
vr
解：2、动力学分析
系统在水平方向受力为零，因此质点系在 水平方向满足动量守恒
mAvax mBvB 0
vax vrcos vB
(mA+mB)g mA
i
F (e) i
质心运动定理： maC
F (e) i
质心运动定理： maC
F (e) i
质心运动定理的投影形式：
maCx
m d2 xC dt 2
FRexmຫໍສະໝຸດ Cymd2 yC dt 2
FRey
maCz
m d2 zC dt 2
FRez
§10-3 质心运动定理
★ 质心守恒
F (e) i
求起重机的位移。
周期性反复变化的约束力对结构的破坏作 用?
若底座不固定，初始条件为 ：
vO2y=e2。
求：1、电动机跳起的条件；
＝0，vO2x = 0,
2、外壳在水平方向的运动规律。
y1
解（1）：电动机跳起的条件
o2
y
aO
2
e
o1
2
aO1
x1
m2 g
m1 g
1、选择包括外壳、定子、 转子的电动机作为刚体系 统。
2
ω Oφ
同理得
A
x
py
7 lm cos
2
§10-1 动量与冲量 ★ 冲量
●常力的冲量 I Ft
●变力的元冲量 ●变力的冲量
dI Fdt
I t2 Fdt t1