华东理工大学
线性代数 作业簿（第八册）
1.设矩阵A 与B 合同，则下述选项正确的是 （）.
(A) r(A)=r(B) ； ( B) |A|=|B|；
(C) tr(A)=tr(B) ；
( D) A 与B 有相同特征值.
解：A.提示：A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得C T
AC=B ， 故 r(A) =r(B).
n n
2 .设二次型f(X 1,X 2，…;X n) = X i 2
-(2 X i )2
,则此二次型的矩
i=1 i=1
交变换标准型为
任课教师
6.1
二次型及其标准型 ,二次型的秩为
,二次型的正
提示：二次型的秩就是
二次型的矩阵的秩，也
是其标准型中非零项的
个数（注：标准型不唯
一）。

因此求二次型
的秩有两种方法，1）直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的 特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就 是几.
3.设实二次型f （x ）=x T Ax,其中A T
H A ，则二次型的矩阵为
解：0, -1.提示：A 的特征值为扎1 =1, A 2 = —2，入3 =…== 0，
n
n
根据送h =tr(A), n "T A 易得.
i
=1
i
「n -1 -1
...-1 -1
n —1
...-1
L-
-1 ...n — 1
2 .
丄
2
ny2 +…+ n
标准型为y 12 -2y f ，则A -
，矩阵A 的迹为
秩为2,则参数C 的值为 ,f （X 1，X 2，X 3）=1表示的曲面为 解:
2
，n-1，nyi +
2 2 2
Z1 +Z2 +…+Zn 」.
解：3,椭圆柱面.提示：二次型的矩阵A3涣的秩为2,故|A|=0 , 由此可求得c
=3。

再求出A 的特征值为7叭=0,
几2 = 4,
/"G = 9
，即
标 准型为f =4y ；+9yj ，由此知f 区兀^) =1为椭圆柱面。

2 2 2
6.已知二次型 f 区^2必)=2x , + 3x 2 +3X 3 +2ax 2x 3 (a>0)通
正交变换矩阵.
A =片兀2兀3即2(9 — a 2
) = 10 得
1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。

分别求出属于 这三个特征值的特征向量 匕=[0,1,—1]T ,匕2 =[1,0,0]T , J
=[0,1,1]T
并把它们单位化，得正交变换矩阵为 Q =
7. 已知二次曲面方程 X 2 + ay 2 +z 2 + 2bxy + 2xz + 2yz =4 可以通过正交变换
过正交变换化成标准型 f = y i 2 2
+ 2y 2 +5y 3，求参数a 及所用的
解：二次型的矩阵为
A =
a = 2。

A 有三个不同的特征值
2
)，由
y L z.=p
「
空
化为椭圆柱面方程n2+4©2=4。

求a, b的值和正交矩阵P.
A的线性无
关的
特征向量匕 1 =[1,0,_1]T,上
2 =[1,-1,1]T, 5 =[121]T,并
把它们单位
化，可得正交变换矩阵为P =
6.2正定二次型与正定矩阵
tr(A) =tr(B) =5 ,
1.设n阶方阵A,B都正定, 则下述结论不正确的是（）.
（A）A+B正定；
正定;
（B） AB正定;
（C）r B丿
解: B. AB未必对称,
(D) A+B」正定.
故不正定.
（D
）解：
解：由A =
B =0,进而得 a = 3, b = 1.
3.若用A<0表示A为负定矩阵，则下述结论正确的是(). 贝U |A<0;
若 A<0,
若 AvO, 则 A <0;
若 AvO, 则对任意与A同阶的可逆阵C都有C T AC <0；
若 人+民+...+代<0,则其中至少有一个 A i <0.
提示：根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上，
= X T
C T
AC X c 0 (XH 0),又等价于 y T Ayc0 (y HO)，等价于 A<0.
4.设 f(X i ,X 2,X 3)=2x ； +x ； +x 1 + 2X I X 2 +tx 2X 3是正定二次型，则 t 的取值范围是 __________ .
解：-72<t <72.提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大 于零求解. 5.设A 为一个三阶矩阵，其特征值为-1 ,-1 ,2,则当k 满足 _____ 条件时，f(X)=x T (A + kl)3x 为正定二次型,此时的规范型为
解：k >1 , X i 2 + X ； +x 2 .提示：由A 的特征值为-1，-1，2知
(A + kl)3
的特 征值为(―1 +k)3
,(—1 +k)3
,(2 +k)3
, 又
f(x) =x T
(A + kl)3
x 为正定二次型，其特征值必须全部都大于零,
故得k >1 .
1 .与“实二次型f （x ）=x T Ax （其中A T =A ）是正定的”等价 的是 .
对任意X ，恒有f （X ）＞■ 0 ； 二次型的负惯性指数为零； 存在可逆阵P,使得A = P T
P ；
A 的特征值均不小于零.
解：C.
C T
AC <0
等价于f
6.设二次型f(x)=x T Ax 经正交变换x = Py 可化为标准型
+…中打丫2，证明：二次型g(x) =X T A X +kx T x (k 亡R)
经相同的正交变换x = Py 可化为标准型
2 2 2
(打 + k)y i +(兀2 +k)y 2 +…+k)y n . 证明：g(x) = (Py)T A( Py) +k(Py)T ( Py)
=y T (P T AP)y +ky T ( P T P)y
=(為 y 2 + 兀2 y ； + …中 A n 『1) + ( kyf + ky ； + …+ ky 2
)
=(再 +k)y i 2 +仏2 +k)y ； + …+&+k)y 2 .
2 2 2
7.设二次型 f (X i ,X 2, X 3)=tX i + tX 2 +tX 3 -4X I X 2 -4X I X 3 +4X 2X 3，试 用正交变换化二次型f 为标准型，并讨论当t 取何值时，f 为负 定二次型.
解：根据上一题的结论，我们只需先求出二次型
f =
YX I X 2 -4X I X 3 +4X 2X 3的正交变换矩阵及其标准型。

经计算得
二次型f 的矩阵的特征值为-2,-2,4. 对应的线性无关的特征向 量为[1,1,O]T ,[1,O,1]T ,[-1,1,1]T .经施密特正交化，单位化可得所求 pA/2 I A/G -1/JT
的正交变换矩阵为p 91/72 -i /76 '—'
[0 2/76
〜 2 2 2 下的标准型为f =-2y-2y2+4y3. f (X I , X 2,X 3)=tX i 2
+tx ； +tx 2
-4X 1X 2 -4X 1X 3 +4X 2X 3 在正 交变换
在正交变换
故有:
2 2 2
X = Py 下的标准型为(t -2) % + (t -2)
y^(^4) y 3
.
二次型f 为负定二次型，即t-2c0, t +4c 0,故有t v-4 （也可用顺序主子式来解）
8.
设f （X ）= X T A X （其中A T =A ）为一个n 元实
二次型，
心Z , <…兰為为A 的特征值，P 为正交矩阵，
P T
AP= diag （打，兀2「浊n ）.试证明:
2 2
(1)吋 x <f(x)<Xj x | ；
⑵f （x ）在II x | =1时取到的最大值就等于A 的最大特征值 证明：1)令 X = Py ，贝U f = y T PAPy =2； +心 y ； + …•+ 扎Jn ，
f （X ）<入，故f （x ）在I x = 1
时取到的最大值就等于A 的最大特征值
入（同理取X = P[1,0,0,「0]T ，知f （x ）在I x =1时取到的最小值 就等于A 的最小特征值）1）.
9. 证明对任意的实对称阵A, —定存在实数t ，使得tl+A 是正定 矩阵.
证明：tl +A:>0等价于二次型 f （x ） =x T
（tl+A>X >0 （ xHO ）,由第 8 题的结论知：f(x)=x T
(tl+A)x=tx T
x+x T
Ax>tx T
x+Z1X T
x (其中為为 A 的 最小特征值），故取t >一打时有f （x ） =x T
（tl +A ）x 》0 （ X 北0）.
2 2 2
5.若二次型 f (X i ,X 2, X 3)=5x i 中5x 2 中CX 3 -2X I X 2 +6x 1X 3 —6X 2X 3 的
r
A n
2 2
故训y 兰f 兰砧,，又II X
T y ，故1）得证.
2 )令 X = P[0,0,0，…;1]T
，显然x = 1，代入得f （X ）=打•由
1）得。