X,Y相互独立,它们的 概率密度分别为
p(
x
)

e 0,
x
,
x 0, 其他.
p(
y
)

2e2 0,
y , x 0, 其他.
试求Z

X Y
的概率密度函数
解 由公式

0
pZ (z) 0
yp( yz, y)d y yp( yz, y)d y,

p(
x,
y)
zy
dy p( x, y)dx
0

y0 x y z
o
x
y 0y 0x y
z
y 1x
令u x
z
y 0 dy p( yu, y) ydu
z
dy
p( yu, y) ydu
z
0

0

z
dy p( yu, y) ydu dy p( yu, y) ydu
z
dy p( yu, y) ydu
0

0

z
dy p( yu, y) ydu dy p( yu, y) ydu
z
0

0
z

dy p( yu, y) ydy du p( yu, y) ydy
z

0
pZ
(
z
)

dFZ ( dz
0

dy p( x, y)dx
zy
zy
dy p( x, y)dx
0

D {(x, y) x z} y
y
x zy ( y 0)
xzy
o x zy x ( y 0)
令u x y
0

dy
z
p( yu, y) ydu
zk f ( xi , y j )
k 1,2
其中“
pij ”是关于f ( xi , y j ) zk
zk f ( xi , y j )
的( xi , y j )求和.
例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X1
3
Y2 4
PX 0.3 0.7
PY 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
观察值为X1, X2, X3, X4, X5设它们是相互独立的
随机变量，且都服从同一分布
F
(z)

1


e
2
ze2 8
,
z 0,
0,
其他.
试求max{ X1, X2 , X3 , X4 , X5 } 4的概率.
解 设 D max( X1, X2, X3, X4, X5 )
因为 Fmax (z) [F (z)]5, 所以 P{D 4} 1 P{D 4}
P{Z zk } P{ f ( X ,Y ) zk }

pij
k 1,2, .
zk f ( xi , y j )
2. 连续型随机变量函数的分布 (1)Z X Y的分布
(2)Z X 的分布 Y
(3)M max( X ,Y )及N min( X ,Y )的分布
推广: 一般地，设 M max{ X1, X2, Xn}, N min{ X1, X2, Xn },
则当 X1, X2, , Xn相互独立且同分布时， 有 FM (z) F n(z) FN (z) 1 [1 F (z)]n 其中F (z) P{ X1 z}.
例8 对某种电子装置的输出测量了５次，得到的观
x x 10
x z x z 10
O
10
20
z
当
0 0

x 10, z x
10,
即
0 x z 10

10, x
z,
时,
pR(z)
p( x) p(z x)d x 中被积函数不为零.

此时

z
p( x) p(z x)d x,
0 z 10,
1 Fmax (4) 1 [F (4)]5 1 (1 ee2 )5 .
内容小结
1. 离散型随机变量函数的分布律 若二维离散型随机变量的联合分布律为
P{X xi ,Y y j } pij ,i, j 1,2, 则随机变量函数 Z f ( X ,Y )的分布律为
X Y 3 2 1 3 1 1 1 2 22
23
X Y 1
5 31 0 1 2 225 43
所以X Y ,| X Y |的分布律分别为
X Y 3
2 1 3 1 1 3 22
1
P 12
1
3
2
12 12 12
12 2 12 12 12
5
X Y 0
1
2
P
1
4
2
pY ( y)
1

e
y2 2
,
2π
y
由公式pZ (z)

pX ( x)pY (z x)dx
得
pZ (z)

1 2π

e
x2 2

e
(
z
x 2
)2
dx
t xz 2

1 2π

e
z2 4

(
e
x
z 2
)2
dx

1
2π

12 12 12
3 53
2
12 2 12 12 12
结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为
p{X xi ,Y y j } pij ,i, j 1,2, 则随机变量函数Z f ( X ,Y )的分布律为
P{Z zk } P{ f ( X ,Y ) zk }

pij
e
z2 4
et2dt
1

e
z2 4

2π
即 Z 服从 N (0,2)分布.
说明
一般,设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~
N ( μ2,σ22 ).则 Z X Y 仍然服从正态分布,且有
Z
~
N ( μ1

μ2 ,σ12

σ
2 2
).
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布. 例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布.
若X与Y独立时，

pZ (z) pX (z y)pY ( y)dy

pX ( x)pY (z x)dx
例5 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解
由于pX ( x)
1 2π

e
x2 2
,
x
证 FM (z) P{M z}
P{X z,Y z} P{ X z} P{Y z} FX (z)FY (z)
( X与Y独立)
FN (z) P{N z} 1 P{N z} 1 P{X z,Y z} 1 P{X z} P{Y z} 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
为了解决类似的问题,下面我们讨论二维随机 变量函数的分布.
二、离散型随机变量函数的分布
例1 设随机变量( X ,Y )的分布律
X Y 2 1 0
1
1
3
1
12 12 12
1
2
1
0
2
12
12
3
2
0
2
12
12
求 (1)X Y , (2) X Y 的分布律.
解 X Y 2 1 0
1
1
3
(1,2) (1,4)
3 5
0.42 (3,2)
5
0.28 (3,4)
7
Z X Y 3 所以
P
0.18
5
7
0.54 0.28
三、连续型随机变量函数的分布
几种特殊形式的随机变量函数的分布
(1)Z X Y的分布

pZ (z)
p(z y, y)dy


p( x, z x)dx
x),
0 z x 10,
0,
代入 (1) 式得
其它.
(600z 60z2 z3 ) 15000, 0 z 10,
pR(z) (20 z)3 15000,
10 z 20,
0,
其它.
(2)Z X Y的分布

pZ (z)
p(z y, y)dy
第三节 随机变量的函数
及其分布(2)
（两个随机变量的函数的分布）
一、问题的引出
二、离散型随机变量
的函数的分布
回
三、连续型随机变量 的函数的分布
停 下
一、问题的引出
有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄 和体重，Z表示该人的血压并且已知Z与X ,Y的函数 关系Z f ( X ,Y ),如何通过X ,Y的分布确定Z的分布
备用题
例3-1 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为
X
0
1
P 0.5 0.5 试求：Z max( X ,Y )的分布律.