外点法：
混合法： 增广拉格朗日乘子法的原问题、新目标函数构造如下所示：
3.6多目标函数的优化方法
比之单目标函数通过比较函数值大小的优化方法，多目标函 数的优化问题要复杂得多，求解难度也较大。目前仍没有最 好的普适的多目标函数优化方法，实际运用中应根据具体的 优化问题，有选择地采用下面介绍的各类方法。 1.统一目标法
引入案例 外啮合齿轮泵的齿轮设计
案例：对处于不同应用环境下的外啮合齿轮泵，其 设计的侧重点是不同的，现在输出压力、输出流量、转
速分别为 25 MPa、100 L/min和 1500 rad/min的情况下，
要求确定一台具有流量均匀性好、体积小、寿命长的外 啮合齿轮泵齿轮的几何设计参数。
3.1 优化设计概述
其优化模型为：
2.主要目标法
在每个实际的具体优化问题中，其实各分目标函数的重要 程度肯定是不一样的，例如对于在性能和利润的两目标函 数的优化问题中，性能指标想当然要比利润指标重要，没 有优良的性能，产品卖不出去，又何来利润。也就是说多 目标函数优化问题的各个分目标函数是有主次之分的。
3.3 一维探索优化方法
• 一、探索区间的确定 • 一维问题的探索方向是确定的，因此，一维探索实际就是
求可性域内的最优步长 (k )，使目标函数达到极小。 • 首先要确定出包含最优点的可性域 [s ,e ] ，主要有外
推法和进退法。
1.外推法
2.进退法
1.Fibonacci法
3）按照下面的迭代公式进入下一轮的迭代，并进行完全雷 同于第2)步的判断和操作。
例3-8 解：
三、二阶梯度法 二阶梯度法又叫牛顿法。
图 3-14 二阶梯度法的求优过程
四、共轭梯度法
图 3-15 同心椭圆族属性和共轭梯度法的探索路线
五、变尺度法
六、单纯形法 所谓n维欧氏空间的单纯形，是指在n维空间中由n+1个线
性独立的点，所构成的简单图形或凸多面体。例如，二维空 间中不共线的三点所构成的为二维单纯形；三维空间中不共 面的四点所构成的为三维单纯形等。
• 上述案例的设计过程其实就是：
2.优化设计的数学模型
•（1）设计变量
x [x1 x2 xi xn ]T (i 1, 2, , n)
•（2）目标函数
f (x) f (x1, x2 , , xn )
•（3）约束条件
hv ( x ) 0
gu (x) 0
3.2 优化设计的数学分析基础（略）
2. 0.618 法
例3-5 解：
三、平分法和切线法 假如目标函数具有较好的一阶导数或二阶导数，还可以采用 计算量少、可靠性好、应用更为方便的平分法和切线法。
• 1.平分法
2.切线法 在图3-10所示中：
图 3-10 切线法的原理图
例3-6 解：
四、插值法
图 3-11 插值法的原理图
3.4 无约束多维问题的优化方法
1.优化设计的问题提出
齿轮泵齿轮最基本的设计参数为一对啮合齿轮的模数 、齿数
和变位系数 ，流量均匀、体积和寿命等的设计目标可以由这些
基本的设计参数推导出来，因此，它们被称为目标函数。
设为 f1(m、z、x)
。
至于 具体取什么样的值，是会受到比如重合度、径向间隙、接 触应力、弯曲应力、最小齿顶厚度、模数范围、齿数范围、变 位系数等相关设计条件限制的，它们也可由基本的设计参数来 表达，因此它们被称为约束条件，这里不妨设为 ：
2.随机方向探索法 当探索方向采用随机方向的探索方法时，称为随机方向探索法， 该方法一般包括初始点、探索方向和探索步长随机选择的三部分。 以图3-17所示的二维约束优化问题来说明它的基本思想。
图 3-17 约束随机方向探索法的基本原理
3.复合形法
图 3-18 复合形法本原理图
4.可变容差法
图 3-16 单纯形法的原理图
七、其它方法
1)Marquardt法 2）最小二乘法
约束问题的优化方法 一、约束优化问题的直接法
• 在可行域内按照一定的原则，直接探索出问题的最优点， 而无须将约束问题转换成无约束问题去求优的方法，称为 约束优化问题的直接法。
1.随机试验法
随机试验法，又称为统计模拟试验法，其基本思想是利用计 算机产生的伪随机数，从设计方案集合中分批抽样。每批抽 样均包含若干方案，对每个方案都做约束检验，不满足则重 抽，满足则按照它们的函数值的大小进行排列，取出前几个 或者几十个最好者，然后再作下批试验。当每批抽样试验的 前几个函数值不再明显变动时，则可认为它已经按概略收敛 于某一最优方案，其迭代算法主要如下：
• 可变容差法也是从单纯形法发展而来的，也称为有约束的 单纯形法，其基本思想是将多个约束条件简化为如下的一 个约束条件来求解。
5.可行方向法 可行方向法是采用梯度法求解非线性优化问题的一种最具 代表性的解析法。其基本思想是从初始点出发，沿着目标 函数的负梯度方向，直至前进到约束条件的边界上，然后 继续寻找既能满足约束条件，又能使目标函数值有所改善 的新方向，直至找到最优点为止。
一、坐标轮换法
• 坐标轮换法又叫变量 轮换法，其基本原理 是沿着多维优化设计 空间的每一个坐标轴 作一维探索，求得最 小值。
图 3-12 坐标轮换法的基本原理
二、一阶梯度法
由梯度的概念知，负梯度方向是目标的函数值变化最快的 方向，因此，选择负梯度方向作为探索方向，将会很可观地改 进坐标轮换法的不足，该方法称为一阶梯度法或最速下降法。 由于要计算目标函数的梯度，该方法是一种间接的求优方法。
3.增广拉格朗日乘子法
4.不等式约束优化问题的间接法
• 不等式约束的优化问题，既包括只有不等式约束的情况， 也包括不等式约束和等式约束兼而有之的情况。只要将不 等式约束通过下列内部逼近极值点，还是从可行 域的外部逼近极值点，惩罚函数法可分为内点法、外点法 和混合法。它们分别的原问题、新目标函数构造如下所示。 内点法：
图 3-19 可行下降方向所在的区域
二、等式约束优化问题的间接法
• 等式约束优化问题的间接解法，主要包括消元法、拉格朗 日乘子法、惩罚函数法和增广拉格朗日乘子法等，其中消 元法主要是通过将p个等式约束，变换为p个设计变量的等 式，并代入到目标函数中去，从而达到降维的目的。
1.拉格朗日乘子法
3.惩罚函数法